Средняя линия треугольника

Средняя линия треугольника - отрезок, который соединяет середины двух его сторон. В каждом треугольнике можно провести три средних линии, при пересечении которых получается четыре равных треугольника, подобных исходному с коэффициентом подобия . На рисунке 1 изображен треугольник АВС, отрезки МЕ, МК и КЕ являются средними линиями данного треугольника, ВМЕ =АМК =СЕК =МЕК.

Теорема

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Доказательство

Дано: АВС, МЕ - средняя линия.

Доказать: МЕАС, МЕ = АС.

Доказательство:

В треугольниках МВЕ и АВС:

  • В - общий;
  • ВА = 2ВМ, т.к. МЕ - средняя линия, значит, М - середина АВ, тогда , аналогично, , т.е. .

Следовательно, треугольники МВЕ и АВС подобны (по 2 признаку подобия треугольников), поэтому 1 =2 и .

Прямые МЕ и АС пересечены секущей АВ, углы 1 и 2 - соответственные, при этом 1 =2, следовательно, МЕАС (по признаку параллельности двух прямых).

Из равенства следует, что МЕ = АС. Теорема доказана.

Задача:

Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины.

Дано: АВС, АА1 и ВВ1, СС1 - медианы, АА1ВВ1 = О.

Доказать: АА1ВВ1СС1 = О, АО : ОА1 = ВО : ОВ1 = СО : ОС1 = 2 : 1.

Доказательство:

Проведем среднюю линию В1А1 треугольника АВС (В1А1 - средняя линия, т.к. по условию АА1 и ВВ1 - медианы, значит точки А1 и В1 - середины сторон АС и СВ).

А1В1АВ (по теореме, доказанной выше), АА1 и ВВ1 - секущие, 1 и 2, 3 и 4 - накрест лежащие, значит, 1 =2, 3 =4 (по теореме о накрест лежащих углах). Следовательно, треугольники АОВ и А1ОВ1 подобны (по 1 признаку подобия), тогда сходственные стороны данных треугольников пропорциональны:

.      (1)

Так как А1В1 - средняя линия, А1В1 = АВ, откуда АВ = 2А1В1, поэтому АО = 2А1О и ВО = 2В1О. Подставляя три последних равенства в (1), получим:

.

Следовательно, точка О, в которой пересекаются медианы АА1 и ВВ1 делит каждую из них в отношении 2 : 1, считая от вершины.

Аналогично доказывается, что точка пересечения медиан ВВ1 и СС1 делит каждую из них в отношении 2 : 1, считая от вершины, и, значит, совпадает с точкой О.

Итак, все три медианы АВС пересекаются в точке О и делятся ею в отношении 2 : 1, считая от вершины. Что и требовалось доказать.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Пропорциональные отрезки

Определение подобных треугольников

Отношение площадей подобных треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Практические приложения подобия треугольников

О подобии произвольных фигур

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Значение синуса, косинуса и тангенса для углов 30, 45 и 60

Подобные треугольники

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 565, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 570, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 630, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 794, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 797, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 866, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 867, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 895, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1003, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1278, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник