Упражнение 866 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\[ x_n=(n+4)(n-5) \]

\[ -18\le x_n\le360 \]

\[ -18\le (n+4)(n-5)\le360 \]

\[ -18\le n^2-5n+4n-20\le360 \]

\[ -18\le n^2-n-20\le360 \]

\[ \begin{cases} n^2-n-20 \ge -18,\\[8pt] n^2-n-20\le 360 \end{cases} \]

1) \( n^2-n-20\ge-18 \)

\( n^2-n-20 + 18 \ge 0 \)

\[ n^2-n-2 \ge 0 \]

\[ n^2-n-2=0 \]

\(D = (-1)^2 - 4\cdot1\cdot(-2) = \)

\(=1 + 8 = 9 > 0\) - два действительных корня.

\(\sqrt 9 = 3\)

\(n_1 = \frac{1 + 3}{2\cdot1} = \frac{4}{2} = 2\)

\(n_2 = \frac{1 - 3}{2\cdot1} = \frac{-2}{2} = -1\)

\(x \in (-\infty; -1] \cup [2; +\infty)\)

2) \( n^2-n-20\le360 \)

\( n^2-n-20 - 360 \le 0 \)

\[ n^2-n-380\le0 \]

\( D=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-380)=\)

\(=1+1520=1521 > 0 \) - два действительных корня.

\[ \sqrt{1521}=39 \]

\[ n_1=\frac{1+39}{2\cdot1} =\frac{40}{2} = 20  \]

\[ n_2=\frac{1-39}{2\cdot1} =\frac{-38}{2} = -19  \]

\(x \in [-19; 20]\)

3) \(n > 0\), так как \(n\) - натуральное число.

\[ n \in [2;20] \]

Ответ: при \( n \in [2;20] \).

Пояснения:

Сначала подставляем формулу члена последовательности

\(x_n=(n+4)(n-5)\) в данное двойное неравенство.

После раскрытия скобок получаем квадратный трёхчлен:

\[ x_n=n^2-n-20. \]

Далее двойное неравенство разбивается на два отдельных:

1) значение должно быть не меньше \(-18\);

2) значение должно быть не больше \(360\).

Каждое из этих неравенств решается отдельно. После этого пересекаются найденные промежутки, при этом учитываем то, что \(n\) это номер члена последовательности, значит, \(n\) может быть только натуральным числом.