Упражнение 866 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\[ x_n=(n+4)(n-5) \]

\[ -18\le x_n\le360 \]

\[ -18\le (n+4)(n-5)\le360 \]

\[ -18\le n^2-5n+4n-20\le360 \]

\[ -18\le n^2-n-20\le360 \]

\[ \begin{cases} n^2-n-20 \ge -18,\\[8pt] n^2-n-20\le 360 \end{cases} \]

1) \( n^2-n-20\ge-18 \)

\( n^2-n-20 + 18 \ge 0 \)

\[ n^2-n-2 \ge 0 \]

\[ n^2-n-2=0 \]

\(D = (-1)^2 - 4\cdot1\cdot(-2) = \)

\(=1 + 8 = 9 > 0\) - два действительных корня.

\(\sqrt 9 = 3\)

\(n_1 = \frac{1 + 3}{2\cdot1} = \frac{4}{2} = 2\)

\(n_2 = \frac{1 - 3}{2\cdot1} = \frac{-2}{2} = -1\)

\(x \in (-\infty; -1] \cup [2; +\infty)\)

2) \( n^2-n-20\le360 \)

\( n^2-n-20 - 360 \le 0 \)

\[ n^2-n-380\le0 \]

\( D=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-380)=\)

\(=1+1520=1521 > 0 \) - два действительных корня.

\[ \sqrt{1521}=39 \]

\[ n_1=\frac{1+39}{2\cdot1} =\frac{40}{2} = 20  \]

\[ n_2=\frac{1-39}{2\cdot1} =\frac{-38}{2} = -19  \]

\(x \in [-19; 20]\)

3) \(n > 0\), так как \(n\) - натуральное число.

\[ n \in [2;20] \]

Ответ: при \( n \in [2;20] \).

Пояснения:

Сначала подставляем формулу члена последовательности

\(x_n=(n+4)(n-5)\) в данное двойное неравенство.

После раскрытия скобок получаем квадратный трёхчлен:

\[ x_n=n^2-n-20. \]

Далее двойное неравенство разбивается на два отдельных:

1) значение должно быть не меньше \(-18\);

2) значение должно быть не больше \(360\).

Каждое из этих неравенств решается отдельно. После этого пересекаются найденные промежутки, при этом учитываем то, что \(n\) это номер члена последовательности, значит, \(n\) может быть только натуральным числом.

а) \( n = C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!}= \frac{5!}{2!\cdot3!}= \)

\(=\frac{5\cdot\cancel4  ^{\color{blue}{2}} \cdot\cancel{3!}}{\cancel2\cdot1\cdot\cancel{3!}}=5 \cdot 2 = 10 \)

\(m = 1\), так как \(1 + 2 = 3\)

\( P =\frac mn= \frac{1}{10} = 0,1 \)

Ответ: \(0,1\).

б) \( n = C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!}= \frac{5!}{2!\cdot3!}= \)

\(=\frac{5\cdot\cancel4  ^{\color{blue}{2}} \cdot\cancel{3!}}{\cancel2\cdot1\cdot\cancel{3!}}=5 \cdot 2 = 10 \)

\(m = 2\), так как

\(1+4 = 5\) и \(2+3=5\)

\( P = \frac mn= \frac{2}{10} = 0,2\)

Ответ: \(0,2\).

Пояснения:

Вероятность определяется как:

\[ P=\dfrac{\text{число благоприятных исходов}}{\text{общее число исходов}} \]

Используется формула сочетаний:

\[ C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

Сочетания применяются, потому что порядок вытаскивания шаров не важен — важна только пара чисел.

Общее число способов выбрать 2 шара из 5:

\[ C_5^2 = 10 \]

а) Сумма равна 3 возможна только в одном случае:

\[ 1 + 2 = 3 \]

Значит, благоприятный исход один:

\[ P = \frac{1}{10} = 0,1 \]

б) Сумма равна 5 возможна в двух случаях:

\[ 1 + 4 = 5 \]

\[ 2 + 3 = 5 \]

Всего 2 благоприятных исхода:

\[ P = \frac{2}{10} = 0,2 \]