Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№865 учебника 2023-2026 (стр. 211):
Последовательности \((y_n)\) и \((x_n)\) заданы формулами \(y_n=n^2\) и \(x_n=2n-1\). Если выписать в порядке возрастания все их общие члены, то получится последовательность \((c_n)\). Напишите формулу \(n\)-го члена последовательности \((c_n)\).
№865 учебника 2014-2022 (стр. 219):
На каждой карточке написана одна из букв «о», «п», «р», «с», «т». Несколько карточек наудачу выкладывают одну за другой в ряд. Какова вероятность, что при выкладывании:
а) 3 карточек получится слово «рот»;
б) 4 карточек получится слово «сорт»;
в) 5 карточек получится слово «спорт»?
№865 учебника 2023-2026 (стр. 211):
Вспомните:
№865 учебника 2014-2022 (стр. 219):
Вспомните:
№865 учебника 2023-2026 (стр. 211):
\( y_n=n^2 \) - последовательность квадратов натуральных чисел.
\[ 1,\ 4,\ 9,\ 16,\ 25,\ 36,\ 49,\dots \]
\( x_n=2n-1 \) - последовательность нечётных чисел:
\[ 1,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9,\ 11,\dots \]
Общие члены:
\( 1,\ 9,\ 25,\ 49,\ 81,\dots \) - квадраты нечётных чисел.
\[ c_n=(2n-1)^2 \]
Пояснения:
По формуле
\[ x_n=2n-1 \]
получаются все нечётные натуральные числа. Действительно, при \(n=1,2,3,4,\dots\) имеем:
\[ x_1=1,\ x_2=3,\ x_3=5,\ x_4=7,\dots \]
По формуле
\[ y_n=n^2 \]
получаются квадраты натуральных чисел:
\[ y_1=1,\ y_2=4,\ y_3=9,\ y_4=16,\dots \]
Нужно найти общие члены этих двух последовательностей. Это значит, надо найти числа, которые одновременно: являются квадратами и являются нечётными.
Квадрат числа будет нечётным тогда и только тогда, когда само число нечётное. Поэтому среди всех квадратов нужно взять квадраты нечётных чисел:
\[ 1^2,\ 3^2,\ 5^2,\ 7^2,\dots \]
Нечётное число с номером \(n\) записывается формулой
\[ 2n-1. \]
Тогда соответствующий общий член равен квадрату этого числа:
\[ c_n=(2n-1)^2. \]
Это и есть формула \(n\)-го члена последовательности \((c_n)\).
№865 учебника 2014-2022 (стр. 219):
«о», «п», «р», «с», «т» - 5 букв.
а) \(n = A_5^3 = \frac{5!}{2!}= \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot\cancel{2!}}{\cancel{2!}} = 60 \)
\(m = 1\)
\( P = \frac mn= \frac{1}{60} \)
б) \( n = A_5^4 = \frac{5!}{1!} = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 120 \)
\(m = 1\)
\( P = \frac mn = \frac{1}{120} \)
в) \( n = P_5 = 5! = 120 \)
\(m = 1\)
\( P = \frac mn= \frac{1}{120} \)
Пояснения:
Используется формула размещений без повторений:
\[ A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} \]
Это количество способов выбрать и упорядочить \( k \) элементов из \( n \).
Во всех пунктах важен порядок букв, так как из карточек составляется слово. Поэтому используем размещения, а не сочетания.
Всего возможных вариантов — это все возможные последовательности из выбранных карточек.
Благоприятный исход — только один: когда буквы идут строго в нужном порядке (например, «р», «о», «т»).
а) Из 5 букв выбираются и упорядочиваются 3:
\[ 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60 \]
Только одна последовательность даёт слово «рот», значит:
\[ P = \frac{1}{60} \]
б) Аналогично для 4 букв:
\[ 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 120 \]
Только одна последовательность — «сорт»:
\[ P = \frac{1}{120} \]
в) Для всех 5 букв:
\[ 5! = 120 \]
Только одна последовательность — «спорт»:
\[ P = \frac{1}{120} \]
Во всех случаях вероятность равна отношению одного благоприятного исхода к общему числу возможных последовательностей.
Вернуться к содержанию учебника