Вернуться к содержанию учебника
В арифметической прогрессии \(a_1, a_2, a_3, a_4\), состоящей из целых чисел, наибольший член равен сумме квадратов остальных членов. Найдите члены этой прогрессии.
Введите текст
Пусть арифметическая прогрессия имеет разность \(d\).
\[ a_1=a,\quad a_2=a+d,\quad a_3=a+2d,\quad a_4=a+3d \]
Так как члены возрастают, наибольший член:
\[ a_4=a+3d \]
По условию:
\[ a_4=a_1^2+a_2^2+a_3^2 \]
Подставим выражения:
\[ a+3d=a^2+(a+d)^2+(a+2d)^2 \]
Раскроем скобки:
\[ (a+d)^2=a^2+2ad+d^2 \]
\[ (a+2d)^2=a^2+4ad+4d^2 \]
Подставим:
\[ a+3d=a^2+(a^2+2ad+d^2)+(a^2+4ad+4d^2) \]
Приведём подобные:
\[ a+3d=3a^2+6ad+5d^2 \]
Перенесём всё в одну сторону:
\[ 0=3a^2+6ad+5d^2-a-3d \]
Так как члены прогрессии — целые числа, подберём целые значения \(d\).
Пусть \(d=1\):
\[ 0=3a^2+6a+5-a-3 \]
\[ 0=3a^2+5a+2 \]
\[ 3a^2+5a+2=0 \]
\[ (3a+2)(a+1)=0 \]
\[ a=-1 \]
Тогда члены прогрессии:
\[ a_1=-1 \]
\[ a_2=0 \]
\[ a_3=1 \]
\[ a_4=2 \]
Проверка:
\[ (-1)^2+0^2+1^2=1+0+1=2 \]
\[ a_4=2 \]
Условие выполняется.
Ответ:
\[ -1,\;0,\;1,\;2 \]
Пояснения:
Сначала вспомним основные свойства арифметической прогрессии.
Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается прибавлением одного и того же числа \(d\), называемого разностью прогрессии:
\[ a_{n+1}=a_n+d \]
Поэтому четыре последовательных члена можно записать через первый член и разность:
\[ a_1=a,\quad a_2=a+d,\quad a_3=a+2d,\quad a_4=a+3d \]
В условии сказано, что наибольший член равен сумме квадратов остальных членов. Так как прогрессия возрастающая, наибольший член — это \(a_4\).
Поэтому составляем уравнение:
\[ a_4=a_1^2+a_2^2+a_3^2 \]
После подстановки выражений получаем уравнение с двумя переменными \(a\) и \(d\). Далее раскрываем скобки по формуле квадрата суммы:
\[ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \]
После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых получается квадратное уравнение.
Так как все члены прогрессии должны быть целыми числами, удобно рассматривать целые значения разности \(d\). При \(d=1\) получается уравнение
\[ 3a^2+5a+2=0 \]
Оно раскладывается на множители:
\[ (3a+2)(a+1)=0 \]
Целое решение даёт \(a=-1\). Подставляя его в формулы членов прогрессии, получаем последовательность
\[ -1,\;0,\;1,\;2 \]
Проверка показывает, что квадрат первого, второго и третьего членов в сумме действительно равен четвёртому члену.
Следовательно, искомая арифметическая прогрессия:
\[ -1,\;0,\;1,\;2. \]
Вернуться к содержанию учебника