Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№867 учебника 2023-2026 (стр. 211):
Найдите сумму первых \(n\) членов последовательности \((x_n)\), если
\[ x_n=\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}. \]
№867 учебника 2014-2022 (стр. 219):
В коробке находится 12 шаров, среди которых \( n \) белых, а остальные цветные. Вероятность того, что наугад взятый шар окажется белым, равна \( \frac{1}{6} \). Сколько белых шаров в коробке?
№867 учебника 2023-2026 (стр. 211):
Вспомните:
№867 учебника 2014-2022 (стр. 219):
Вспомните:
№867 учебника 2023-2026 (стр. 211):
\[ x_n=\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} \]
\((2n + 1) - (2n - 1) = 2\) \(/ : 2\)
\(\frac{1}{2}((2n + 1) - (2n - 1)) = 1\)
\[ x_n=\frac{\frac{1}{2}((2n + 1) - (2n - 1))}{(2n-1)(2n+1)} =\]
\(=\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{\cancel{2n + 1}}{(2n-1)\cancel{(2n+1)}}-\frac{\cancel{2n - 1}}{\cancel{(2n-1)}(2n+1)}\right) =\)
\(=\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)\)
Если \(n = 1\), то
\(x_1 =\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{2\cdot1-1}-\frac{1}{2\cdot1+1}\right)=\)
\(=\frac{1}{2}\cdot\left(1-\frac{1}{3}\right)\).
Если \(n = 2\), то
\(x_2 =\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{2\cdot2-1}-\frac{1}{2\cdot2+1}\right)=\)
\(=\frac{1}{2}\cdot\left(\frac13-\frac{1}{5}\right)\).
Если \(n = 3\), то
\(x_2 =\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{2\cdot3-1}-\frac{1}{2\cdot3+1}\right)=\)
\(=\frac{1}{2}\cdot\left(\frac15-\frac{1}{7}\right)\).
\(S_n = x_1 + x_2 + x_3 + \dots + x_n\)
\( S_n=\frac12\left(\left(1-\frac13\right)+\left(\frac13-\frac15\right)+\left(\frac15-\frac17\right)+\dots+\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)\right) =\)
\( =\frac12\left(1-\cancel{\frac13}+\cancel{\frac13}-\cancel{\frac15}+\cancel{\frac15}-\cancel{\frac17}+\dots+\cancel{\frac{1}{2n-1}}-\frac{1}{2n+1}\right) =\)
\[ =\frac12\left(1 ^{\color{blue}{\backslash2n+1}} -\frac{1}{2n+1}\right) =\]
\[ =\frac12\cdot\frac{2n+1-1}{2n+1} =\frac{1}{\cancel2}\cdot\frac{\cancel2n}{2n+1}= \]
\[ =\frac{n}{2n+1} \]
Ответ: \( S_n=\frac{n}{2n+1}. \)
Пояснения:
В этой задаче нужно найти сумму первых \(n\) членов последовательности, у которой общий член имеет вид
\[ x_n=\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}. \]
Главный приём здесь — разложить дробь на разность двух более простых дробей:
\(x_n=\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right).\)
После такой замены сумма превращается в телескопическую. Это значит, что многие соседние слагаемые уничтожаются:
\[ \left(1-\frac13\right)+\left(\frac13-\frac15\right)+\left(\frac15-\frac17\right)+\dots \]
Видно, что \(-\frac13\) сокращается с \(+\frac13\), \(-\frac15\) сокращается с \(+\frac15\), и так далее.
В результате остаются только первое и последнее слагаемые:
\[ 1-\frac{1}{2n+1}. \]
Так как перед суммой стоит множитель \(\frac12\), окончательно получаем:
\[ S_n=\frac12\left(1-\frac{1}{2n+1}\right)=\frac{n}{2n+1}. \]
Итак, сумма первых \(n\) членов данной последовательности выражается очень простой формулой:
\[ S_n=\frac{n}{2n+1}. \]
№867 учебника 2014-2022 (стр. 219):
\(n \) - белых шаров.
\(12\) - всего шаров.
\( P = \frac{n}{12} \)
\( \frac{n}{12} = \frac{1}{6} \)
\(6n = 12\)
\(n = \frac{12}{6}\)
\( n = 2 \)
Ответ: \( 2 \) белых шара.
Пояснения:
Используется формула вероятности:
\[ P = \frac{\text{число благоприятных исходов}}{\text{общее число исходов}} \]
В данной задаче:
общее число шаров равно \( 12 \),
благоприятные исходы — это выбор белого шара, их \( n \).
Тогда вероятность выбрать белый шар равна:
\[ P = \frac{n}{12} \]
По условию задачи эта вероятность равна \( \frac{1}{6} \), составляем уравнение:
\[ \frac{n}{12} = \frac{1}{6} \]
Согласно основному свойству пропорции:
\(6n = 12\), откуда
\(n = \frac{12}{6}\)
\[ n = 2 \]
Значит, в коробке 2 белых шара.
Вернуться к содержанию учебника