Вернуться к содержанию учебника
Известно, что \(y=f(x)\) — линейная функция и \(x_1, x_2, x_3, \ldots\) — арифметическая прогрессия. Докажите, что последовательность \(f(x_1), f(x_2), \ldots\) является арифметической прогрессией.
Введите текст
Пусть линейная функция имеет вид
\[ f(x)=kx+b. \]
Так как \(x_1, x_2, x_3, \ldots\) — арифметическая прогрессия, то
\[ x_{n+1}-x_n=d, \]
где \(d\) — постоянная разность прогрессии.
Рассмотрим разность соседних членов последовательности \(f(x_1), f(x_2), f(x_3), \ldots\):
\[ f(x_{n+1})-f(x_n)=(kx_{n+1}+b)-(kx_n+b)=kx_{n+1}+b-kx_n-b=k(x_{n+1}-x_n)=kd. \]
Так как \(k\) и \(d\) — постоянные числа, то \(kd\) — постоянное число.
Значит,
\[ f(x_{n+1})-f(x_n)=kd \]
для любого \(n\), то есть разность соседних членов последовательности \(f(x_1), f(x_2), f(x_3), \ldots\) постоянна.
Следовательно, последовательность \(f(x_1), f(x_2), \ldots\) является арифметической прогрессией.
Пояснения:
Сначала вспомним правила, которые здесь используются.
Линейная функция имеет общий вид
\[ f(x)=kx+b, \]
где \(k\) и \(b\) — некоторые постоянные числа.
Арифметическая прогрессия — это последовательность, у которой разность соседних членов постоянна:
\[ a_{n+1}-a_n=\text{const}. \]
Чтобы доказать, что некоторая последовательность является арифметической прогрессией, достаточно показать, что разность любых двух соседних её членов одна и та же.
По условию числа \(x_1, x_2, x_3, \ldots\) образуют арифметическую прогрессию. Это означает, что существует число \(d\), для которого
\[ x_{n+1}-x_n=d. \]
Именно число \(d\) называется разностью этой прогрессии.
Теперь к каждому члену прогрессии \(x_n\) применяется линейная функция \(f(x)\). Тогда вместо \(x_n\) получаем новый член:
\[ f(x_n)=kx_n+b. \]
Нужно понять, будут ли числа \(f(x_1), f(x_2), f(x_3), \ldots\) тоже идти с постоянной разностью.
Для этого вычисляем разность соседних членов новой последовательности:
\[ f(x_{n+1})-f(x_n). \]
Подставляем формулу линейной функции:
\[ f(x_{n+1})=kx_{n+1}+b,\qquad f(x_n)=kx_n+b. \]
Тогда
\[ f(x_{n+1})-f(x_n)=(kx_{n+1}+b)-(kx_n+b). \]
Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:
\[ (kx_{n+1}+b)-(kx_n+b)=kx_{n+1}+b-kx_n-b=kx_{n+1}-kx_n. \]
Выносим \(k\) за скобку:
\[ kx_{n+1}-kx_n=k(x_{n+1}-x_n). \]
Но так как \(x_{n+1}-x_n=d\), то получаем
\[ k(x_{n+1}-x_n)=kd. \]
Число \(kd\) постоянно, потому что \(k\) — коэффициент линейной функции, а \(d\) — разность исходной арифметической прогрессии. Значит, разность соседних членов новой последовательности всегда одна и та же:
\[ f(x_{n+1})-f(x_n)=kd. \]
Следовательно, последовательность \(f(x_1), f(x_2), f(x_3), \ldots\) имеет постоянную разность. А это и означает, что она является арифметической прогрессией.
Итак, применение линейной функции к членам арифметической прогрессии снова даёт арифметическую прогрессию.
Вернуться к содержанию учебника