Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№863 учебника 2023-2026 (стр. 211):
За сколько часов может выполнить работу каждый из трёх рабочих, если производительность труда третьего рабочего равна полусумме производительностей труда первого и второго. Известно, что если бы один третий рабочий проработал 48 ч, то для окончания работы одному первому потребовалось бы 10 ч, а одному второму — 15 ч.
№863 учебника 2014-2022 (стр. 219):
Из 28 костей домино извлекают наугад 2 кости. Какова вероятность того, что обе кости окажутся дублями?
№863 учебника 2023-2026 (стр. 211):
Вспомните:
№863 учебника 2014-2022 (стр. 219):
Вспомните:
№863 учебника 2023-2026 (стр. 211):
Пусть объем всей работы равен \(1\) и \(x\) ч потребуется на всю работу 1 рабочему, \(y\) ч - 2 рабочему, \(z\) ч - 3 рабочему. Тогда их производительности соответственно равны: \(\frac1x\), \(\frac1y\), \(\frac1z\), тогда:
\(\frac12\left(\frac1x+\frac1y\right)=\frac1z\) \(/\times2\)
\(\frac1x+\frac1y=\frac2z\)
За \(48\) ч третий рабочий выполнит \(\frac{48}{z}\) часть работы, первый за \(10\) ч выполнит \(\frac{10}{x}\) часть работы, второй за \(15\) ч выполнит \(\frac{15}{y}\) часть работы, тогда:
\(\frac{48}{z} + \frac{10}{x} = 1\),
\(\frac{48}{z} + \frac{15}{y} = 1\).
Составим систему уравнений:
\[ \begin{cases} \dfrac1x+\dfrac1y=\dfrac2z,\\[6pt] \dfrac{48}{z} + \dfrac{10}{x} = 1,\\[8pt] \dfrac{48}{z} + \dfrac{15}{y} = 1 \end{cases} \]
1) Вычитаем из уравнения 2 системы уравнение 3:
\( \dfrac{48}{z} + \dfrac{10}{x} - \dfrac{48}{z} - \dfrac{15}{y} = 1-1\)
\(\dfrac{10}{x} - \dfrac{15}{y} = 0 \)
\(\dfrac{10}{x} =\dfrac{15}{y} \)
\(10y = 15x\) \(/ : 10\)
\(y = 1,5x\)
2) Подставим \(y = 1,5x\) в 1 уравнение системы:
\(\dfrac1x+\dfrac{1}{1,5x}=\dfrac2z\)
\(\dfrac1x+\dfrac{10}{15x}=\dfrac2z\)
\(\dfrac1x ^{\color{blue}{\backslash3}} +\dfrac{2}{3x}=\dfrac2z\)
\(\dfrac{3+2}{3x}=\dfrac2z\)
\(\dfrac{5}{3x}=\dfrac2z\)
\(5z = 6x\) \(/ : 5\)
\(z = 1,2x\)
3) Подставим \(z = 1,2x\) во 2 уравнение системы:
\(\dfrac{48}{1,2x} + \dfrac{10}{x} = 1\)
\(\dfrac{480}{12x} + \dfrac{10}{x} = 1\)
\(\dfrac{40}{x} + \dfrac{10}{x} = 1\)
\(\dfrac{50}{x} = 1\)
\(x = 50\)
4) \(y = 1,5\cdot50 = 75\)
5) \(z = 1,2\cdot50 = 60\)
Ответ: \( 50\text{ ч},\ 75\text{ ч},\ 60\text{ ч}. \)
Пояснения:
В задачах на совместную работу обычно используют понятие производительности. Производительность показывает, какую часть всей работы выполняет рабочий за 1 час.
Если рабочий выполняет всю работу за \(T\) часов, то его производительность равна:
\[ \frac{1}{T}. \]
Обозначив время первого, второго и третьего рабочих на выполнение всей работы через \(x\), \(y\) и \(z\), по условию задачи составляем систему уравнений, которую решаем методом подстановки.
№863 учебника 2014-2022 (стр. 219):
\(n = C_{28}^{2} = \frac{28!}{2!(28 - 2)!}=\frac{28!}{2!\cdot26!}=\)
\(=\frac{\cancel{28} ^{\color{blue}{14}} \cdot27\cdot\cancel{26!}}{\cancel2\cdot1\cdot\cancel{26!}}=14\cdot 27 = 378\)
\(7\) дублей: \((0;0), (1;1), (2;2),\)
\((3;3), (4;4), (5;5), (6;6), (7;7)\)
\(m = C_7^2 = \frac{7!}{2!(7 - 2)!}=\frac{7!}{2!\cdot5!}=\)
\(=\frac{7\cdot\cancel6 ^{\color{blue}{3}} \cdot\cancel{5!}}{\cancel2\cdot1\cdot\cancel{5!}}=7\cdot3= 21\)
\(P=\frac mn=\dfrac{21}{378}=\dfrac{1}{18}\)
Ответ: \(\dfrac{1}{18}\).
Пояснения:
Сочетания:
\(C_{n}^{k} = \frac{n!}{k!(n - k)!}\)
Вероятность определяется как:
\[ P=\dfrac{\text{число благоприятных исходов}}{\text{общее число исходов}} \]
В стандартном наборе домино всего 28 костей.
Дублями называются кости, у которых обе стороны одинаковые:
\( (0,0),(1,1),(2,2),(3,3),\)
\((4,4),(5,5),(6,6) \)
Всего таких костей 7.
Общее число способов выбрать любые 2 кости из 28:
\[ n = C_{28}^{2} = 378 \]
Число благоприятных исходов — выбрать 2 кости из 7 дублей:
\[ m =C_7^2 = 21 \]
Вероятность равна:
\[ P = \frac mn=\dfrac{21}{378}=\dfrac{1}{18} \]
Вернуться к содержанию учебника