Упражнение 862 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\[ \frac{1}{3}\le \frac{a^2-a+1}{a^2+a+1}\le 3 \]

\[ \begin{cases} \dfrac{a^2-a+1}{a^2+a+1} \ge \dfrac{1}{3},   /\times 3(a^2+a+1)\\[8pt] \dfrac{a^2-a+1}{a^2+a+1} \le 3     /\times (a^2+a+1)\end{cases} \]

\(a^2+a+1=0\)

\(D = 1^2 -4\cdot1\cdot1= \)

\(=1 - 4 = - 3 < 0\) - не имеет действительных корней.

\(a^2+a+1>0\) при любом \(a\).

\[ \begin{cases} 3(a^2-a+1) \ge a^2+a+1, \\[8pt] a^2-a+1 \le 3(a^2+a+1) \end{cases} \]

\[ \begin{cases} 3a^2-3a+3 \ge a^2+a+1, \\[8pt] a^2-a+1 \le 3a^2+3a+3 \end{cases} \]

\[ \begin{cases} 3a^2-3a+3 - a^2-a-1 \ge 0, \\[8pt] a^2-a+1 - 3a^2-3a-3 \le 0 \end{cases} \]

\[ \begin{cases} 2a^2-4a+2 \ge 0,      / : 2\\[8pt] -2a^2-4a-2 \le 0     / : (-2) \end{cases} \]

\[ \begin{cases} a^2-2a+1 \ge 0, \\[8pt] a^2+2a+1 \ge 0 \end{cases} \]

\[ \begin{cases} (a-1)^2 \ge 0 - \text{верно при любом} \, a,  \\[8pt] (a+1)^2 \ge 0 - \text{верно при любом} \, a \end{cases} \]

Пояснения:

Чтобы доказать двойное неравенство, нужно доказать две его части:

\[ \begin{cases} \dfrac{a^2-a+1}{a^2+a+1} \ge \dfrac{1}{3}, \\[8pt] \dfrac{a^2-a+1}{a^2+a+1} \le 3\end{cases} \]

Так как \(a^2+a+1>0\) при любом \(a\), можем избавиться от знаменателей в каждом неравенстве, при этом знаки неравенства сохранятся.

Затем, выполнив в каждом случае преобразования, в левой части неравенства, получаем квадрат выражения, который всегда принимает неотрицательные значения. То есть каждое неравенство выполняется при любом значении \(a\), значит, и неравенство выполняется при любом \(a\).

\(n = C_{10}^{3} = \frac{10!}{3!(10-3)!}=\frac{10!}{3!\cdot7!}=\)

\(=\dfrac{10\cdot \cancel9  ^{\color{blue}{3}} \cdot \cancel8  ^{\color{blue}{4}} \cdot\cancel{7!}}{\cancel3\cdot \cancel2\cdot 1\cdot\cancel{7!}}= 10\cdot3\cdot4= 120\)

\(m = C_6^2 \cdot C_4^1 = \frac{6!}{2!(6-2)!}\cdot \frac{4!}{1!(4-1)!}=\)

\(=\frac{6!}{2!\cdot\cancel{4!}}\cdot \frac{\cancel{4!}}{1!\cdot3!}=\frac{6!}{2!\cdot3!} =\)

\(=\dfrac{6\cdot 5\cdot\cancel4  ^{\color{blue}{2}} \cdot\cancel{3!}}{\cancel2\cdot1\cdot\cancel{3!}} = 6 \cdot 5 \cdot 2 = 60\)

\(P=\frac mn=\dfrac{60}{120}=\dfrac{1}{2}\)

Ответ: \(\dfrac{1}{2}\).

Пояснения:

Вероятность определяется как:

\[ P=\dfrac{\text{число благоприятных исходов}}{\text{общее число исходов}} \]

При определении способов вынуть шар используют сочетания:

\(C_{n}^{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\).

Всего шаров:

\[ 6+4=10 \]

Общее число способов выбрать 3 шара из 10:

\[ C_{10}^{3} = 120 \]

Благоприятные случаи — когда выбраны 2 красных и 1 зелёный шар.

Число способов выбрать 2 красных из 6:

\[ C_6^2 = 15 \]

Число способов выбрать 1 зелёный из 4:

\[ C_4^1 = 4 \]

Так как выбор независим, перемножаем:

\[ 15 \cdot 4 = 60 \]

Вероятность равна отношению благоприятных случаев к общему числу:

\[ P = \dfrac{60}{120}=\dfrac{1}{2} \]