Упражнение 815 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а)1. \(2x-5; \) \( x\) - любое число.

2. \(\dfrac{1}{2x-5}:\)

\( 2x-5\ne 0\)

\(x\ne \dfrac{5}{2}\)

\(x\ne 2,5\)

3. \(\sqrt{2x-5}:\)

\( 2x-5\ge 0\)

\(x\ge \dfrac{5}{2}\)

\(x\ge 2,5\)

Ответ: \( x\) - любое число; \(x\ne 2,5;\) \(x\ge 2,5.\)

б) 1. \(2x^2+7x-4;\) \( x\) - любое число.

2. \(\dfrac{1}{2x^2+7x-4}:\)

\( 2x^2+7x-4\ne 0\)

\(2x^2+7x-4=0\)

\(D=7^2-4\cdot 2\cdot(-4)=\)

\(=49+32=81>0\) - 2 корня.

\(\sqrt{D}=9\)

\(x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\)

\(x_{1}=\dfrac{-7+9}{2\cdot 2}=\dfrac{2}{4}=0,5.\)

\(x_{2}=\dfrac{-7-9}{2\cdot 2}=\dfrac{-16}{4}=-4.\)

\(\Rightarrow x\ne -4,\ x\ne 0,5\)

3. \(\sqrt{\dfrac{1}{2x^2+7x-4}}:\)

\(\dfrac{1}{2x^2+7x-4}\ge 0\)

\(\Rightarrow 2x^2+7x-4>0\)

\(y=2x^2+7x-4\) - парабола, ветви которой направлены вверх, так как \(a=2>0.\)

\(2x^2+7x-4=0\)

\(x_{1}=0,5; x_{2}=-4.\)

\( x\in(-\infty;4)\cup(0,5; +\infty).\)

Ответ: \( x\) - любое число; \(x\ne -4,\ x\ne 0,5;\) \( x\in(-\infty;4)\cup(0,5; +\infty).\)

в) 1. \(x^2+1:\) \( x\) - любое число.

2. \(\sqrt{x^2+1}:\)

\( x^2+1\ge 0\) - верно при любом \(x\) \(\Rightarrow\) \( x\) - любое число.

3. \(\dfrac{1}{x^2+1}:\)

\( x^2+1\ne 0\) - верно при любом \(x\) \(\Rightarrow\) \( x\) - любое число.

Ответ: \( x\) - любое число.

Пояснения:

Правила и приёмы, которые используются:

1) Многочлен определён при любых \(x\in\mathbb{R}\).

2) Дробь \(\dfrac{1}{A}\) определена, когда \(A\ne 0\).

3) Корень \(\sqrt{A}\) определён, когда \(A\ge 0\).

4) Если \(\sqrt{\dfrac{1}{A}}\), то нужно \(\dfrac{1}{A}\ge 0\). Так как \(1>0\), это возможно только при \(A>0\) (и одновременно \(A\ne 0\)).

а) Выражение \(2x-5\) — многочлен, ограничений нет: \(x\in\mathbb{R}\).

Для \(\dfrac{1}{2x-5}\) знаменатель не должен обращаться в ноль:

\[ 2x-5\ne 0 \Rightarrow 2x\ne 5 \Rightarrow x\ne \frac{5}{2}. \]

Для \(\sqrt{2x-5}\) подкоренное выражение неотрицательно:

\[ 2x-5\ge 0 \Rightarrow 2x\ge 5 \Rightarrow x\ge \frac{5}{2}. \]

б) \(2x^2+7x-4\) — многочлен, значит определён при любых \(x\).

Для \(\dfrac{1}{2x^2+7x-4}\) нужно исключить нули знаменателя. Решаем уравнение:

\[ 2x^2+7x-4=0. \]

Находим дискриминант и корни:

\[ D=49+32=81,\quad x=-4,\ \frac{1}{2}. \]

Значит, область определения дроби:

\[ x\in\mathbb{R}\setminus\left\{-4,\frac{1}{2}\right\}. \]

Для \(\sqrt{\dfrac{1}{2x^2+7x-4}}\) нужно:

\[ \frac{1}{2x^2+7x-4}\ge 0. \]

Числитель \(1>0\), поэтому знак дроби совпадает со знаком знаменателя, и ноль получить нельзя, значит требуется строго:

\[ 2x^2+7x-4>0. \]

Разложим на множители:

\[ 2x^2+7x-4=(2x-1)(x+4). \]

Произведение положительно вне корней \(-4\) и \(\frac{1}{2}\):

\[ (2x-1)(x+4)>0 \Rightarrow x<-4\ \text{или}\ x>\frac{1}{2}. \]

в)

\(x^2+1\) определено при любых \(x\).

Для \(\sqrt{x^2+1}\) нужно \(x^2+1\ge 0\). Но \(x^2\ge 0\), значит \(x^2+1>0\) при любом \(x\), ограничений нет:

\[ x\in\mathbb{R}. \]

Для \(\dfrac{1}{x^2+1}\) нужно \(x^2+1\ne 0\), но \(x^2+1>0\) всегда, значит тоже:

\[ x\in\mathbb{R}. \]