Упражнение 813 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( \begin{cases} x^2-7x+6 \le 0, \\ x^2-8x+15 \ge 0; \end{cases} \)

1. \(x^2-7x+6 \le0\)

\(y=x^2-7x+6\) - парабола, ветви которой направлены вверх, так как \(a=1>0.\)

\(x^2-7x+6=0\)

\(D = (-7)^2 - 4\cdot 1 \cdot 6 =\)

\(=49-24=25 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt{D} = 5\)

\(x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\)

\(x_{1}=\frac{7+5}{2\cdot1}=\frac{12}{2}=6.\)

\(x_{2}=\frac{7-5}{2\cdot1}=\frac{2}{2}=1.\)

\(1 \le x \le 6\)

2. \(x^2-8x+15\ge 0\)

\(y=x^2-8x+15\) - парабола, ветви которой направлены вверх, так как \(a=1>0.\)

\(x^2-8x+15=0\)

\(D = (-8)^2 - 4\cdot 1 \cdot 15 =\)

\(=64-60=4 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt{D} = 2\)

\(x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\)

\(x_{1}=\frac{8+2}{2\cdot1}=\frac{10}{2}=5.\)

\(x_{2}=\frac{8-2}{2\cdot1}=\frac{6}{2}=3.\)

\(x \le 3\) или \(x \ge 5\)

\(x\in[1;3] \cup [5;6].\)

Ответ: целые решения: \(1,2,3,5,6\).

б) \( \begin{cases} x^2+1 \ge 0, \\ x^2-6x+8 \le 0\end{cases} \)

\(x^2+1 \ge 0\)

верно при любых \(x\)

\(x^2-6x+8\le 0\)

\(y=x^2-6x+8\) - парабола, ветви которой направлены вверх, так как \(a=1>0.\)

\(x^2-6x+8=0\)

\(D = (-6)^2 - 4\cdot 1 \cdot8 =\)

\(=36-32=4 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt{D} = 2\)

\(x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\)

\(x_{1}=\frac{6+2}{2\cdot1}=\frac{8}{2}=4.\)

\(x_{2}=\frac{6-2}{2\cdot1}=\frac{4}{2}=2.\)

\(2 \le x \le 4\)

\(2 \le x \le 4\)

Ответ: целые решения: \(2,3,4\).

Пояснения:

Чтобы решить систему неравенств, нужно найти пересечение решений неравенств системы, то есть найти множество чисел, которое является одновременно решением и одного неравенства и решением другого неравенства. Если решения неравенств не пересекаются, то система решений не имеет.

Решение неравенств вида

\(ax^2 + bx + c > 0\), \(ax^2 + bx + c \ge 0\),

\(ax^2 + bx + c < 0\), \(ax^2 + bx + c \le 0\):

1) находим корни квадратного трехчлена \(ax^2 + bx + c\), если они есть;

2) если трехчлен имеет корни, то отмечаем их на оси \(x\) и через отмеченные точки проводим схематически параболу, ветви которой направлены вверх при \(a > 0\) или вниз при \(a < 0\); если трехчлен не имеет корней, то схематически изображают параболу, расположенную в верхней полуплоскости при \(a > 0\) или нижней при \(a < 0\);

3) находят на оси \(x\) промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx + c > 0\)) или ниже оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx + c < 0\)), выше оси \(x\) и на оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx + c \ge 0\)) или ниже оси \(x\) и на оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx + c \le 0\)).

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.

Дискриминант квадратного трехчлена

\(ax^2 + bx + c \):

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то квадратный трехчлен имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

Если \(D = 0\), то квадратный трехчлен имеет 1 корень:

\(x = -\frac{b}{2a}\).

Если \(D < 0\), то квадратный трехчлен не имеет корней.

В случае, когда коэффициент \(c = 0\), то есть имеем двучлен \(ax^2 + bx\), корни находим разложением многочлена на множители \(x(ax + b)\) и используем то, что произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю: \(x = 0\)  или \(ax + b = 0\), откуда \(x = -\frac{b}{a}\).

В случае, когда коэффициент \(b = 0\), то есть имеем двучлен \(ax^2 + c\), корни которого: \(x_1 = -\sqrt{\frac{-c}{a}}\) и \(x_2= \sqrt{\frac{-c}{a}}\).

Пусть \(A\) - событие, при котором оба карандаша красные.

Общее количество вариантов выбора двух карандашей:

\[ n=C_{12}^2  = \frac{12!}{2!(12-2)!} =\frac{12!}{2!\cdot10!} =\]

\(= \frac{\cancel{10!}\cdot11\cdot\cancel{12}  ^{\color{blue}{6}} }{1\cdot\cancel2\cdot\cancel{10!}} =11\cdot6 = 66\)

Количество вариантов достать два красных карандаша:

\[ m=C_{8}^2 = \frac{8!}{2!(8-2)!} =\frac{8!}{2!\cdot6!} = \]

\(= \frac{\cancel{6!}\cdot7\cdot\cancel{8}  ^{\color{blue}{4}} }{1\cdot\cancel2\cdot\cancel{6!}} =7\cdot4 = 28\)

\[ P(A) = \frac{m}{n}=\frac{28}{66}=\frac{14}{33} \]

Ответ: \(P(A) = \dfrac{14}{33}\).

Пояснения:

Использованные правила:

1. Классическая вероятность:

\[ P=\frac{m}{n} \]

где \(m\) — число благоприятных исходов, \(n\) — общее число равновозможных исходов.

2. Формула вычисления числа сочетаний из \(n\) элементов по \(k\):

\[ C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!} \]

Всего карандашей:

\[ 8+4=12 \]

Общее число способов выбрать 2 карандаша:

\[ C_{12}^2=66 \]

Благоприятные случаи — выбрать 2 красных из 8:

\[ C_{8}^2=28 \]

Вероятность:

\[ P=\frac{m}{n}=\frac{28}{66}=\frac{14}{33} \]

Таким образом, вероятность того, что оба карандаша будут красными, равна \(\dfrac{14}{33}\).