Упражнение 814 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\sqrt{12x-4}\);

\(12x-4\ge 0\)

\(12x\ge 4\)  \(\color{red}|:12\)

\(x\ge \frac{4}{12}\)

\(x\ge \frac{1}{3}\)

Ответ: выражение имеет смысл при \(x\in\bigg[ \frac{1}{3}; +\infty\bigg).\)

б) \(\sqrt{3-0{,}6x}\);

\(3-0{,}6x\ge 0\)

\(-0{,}6x\ge -3\)  \(\color{red}|:(-0,6)\)

\(x\le \frac{3}{0{,}6}\)

\(x\le 5\)

Ответ: выражение имеет смысл при \(x\in(-\infty; 5).\)

в) \(\sqrt{15+2x-x^2}\);

\(15+2x-x^2\ge 0\)  \(\color{red}|:(-1)\)

\(x^2-2x-15\le 0\)

\(y=x^2-2x-15\) - парабола, ветви которой направлены вверх, так как \(a=1>0.\)

\(x^2-2x-15=0\)

\(D=(-2)^2-4\cdot1\cdot(-15)=\)

\(=4+60=64>0\) - 2 корня.

\(\sqrt{D}=8\)

\(x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\)

\(x_{1}=\frac{2+8}{2\cdot1}=\frac{10}{2}=5\)

\(x_{2}=\frac{2-8}{2\cdot1}=\frac{-6}{2}=-3.\)

\(-3\le x\le 5\)

Ответ: выражение имеет смысл при \(x\in[-3; 5].\)

г) \(\sqrt{2x^2+x-6}\);

\(2x^2+x-6\ge 0\)

\(y=2x^2+x-6\) - парабола, ветви которой направлены вверх, так как \(a=2>0.\)

\(2x^2+x-6= 0\)

\(D=1^2-4\cdot2\cdot(-6)=\)

\(=1+48=49>0\) - 2 корня.

\(\sqrt{D}=7\)

\(x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\)

\(x_{1}=\frac{-1+7}{2\cdot2}=\frac{6}{4}=1,5.\)

\(x_{2}=\frac{-1-7}{2\cdot2}=\frac{-8}{4}=-2.\)

\(x\le -2\) или \(x\ge 1,5\)

Ответ: выражение имеет смысл при \(x\in(-\infty; -2]\cup[1,5; +\infty).\)

д) \(\sqrt{12-5x}+\sqrt{2x-1}\);

\( \begin{cases} 12-5x\ge 0, \\  2x-1\ge 0 \end{cases} \)

\( \begin{cases} -5x\ge -12,  \color{red}{|:(-5)} \\  2x\ge 1                 \color{red}{|:2} \end{cases} \)

\( \begin{cases} x\le \frac{-12}{-5}, \\  x\ge \frac{1}{2} \end{cases} \)

\( \begin{cases} x\le 2,4, \\  x\ge 0,5 \end{cases} \)

\(0,5\le x\le 2,4\)

Ответ: выражение имеет смысл при \(x\in[0,5; 2,4].\)

е) \(\sqrt{x^2+4}+\sqrt{3x-17};\)

\( \begin{cases} x^2+4\ge 0 \\ 3x-17\ge 0  \end{cases} \)

\(x^2+4\ge 0\) - верно при любом значении \(x.\)

\(3x-17\ge 0\)

\(3x\ge 17\)

\(x\ge \frac{17}{3}\)

\(x\ge 5\frac{2}{3}\)

Ответ: выражение имеет смысл при \(x\in\bigg[5\frac{2}{3}; +\infty\bigg).\)

Пояснения:

Для выражений с квадратным корнем необходимо выполнение условия: подкоренное выражение неотрицательно.

Поэтому каждое выражение преобразуется в систему неравенств. Решение системы даёт допустимые значения переменной.

Чтобы решить систему неравенств, нужно найти пересечение решений неравенств системы, то есть найти множество чисел, которое является одновременно решением и одного неравенства и решением другого неравенства. Если решения неравенств не пересекаются, то система решений не имеет.

При решении неравенств системы используем то, что:

- если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.

Решение неравенств вида

\(ax^2 + bx + c > 0\), \(ax^2 + bx + c \ge 0\),

\(ax^2 + bx + c < 0\), \(ax^2 + bx + c \le 0\):

1) находим корни квадратного трехчлена \(ax^2 + bx + c\), если они есть;

2) если трехчлен имеет корни, то отмечаем их на оси \(x\) и через отмеченные точки проводим схематически параболу, ветви которой направлены вверх при \(a > 0\) или вниз при \(a < 0\); если трехчлен не имеет корней, то схематически изображают параболу, расположенную в верхней полуплоскости при \(a > 0\) или нижней при \(a < 0\);

3) находят на оси \(x\) промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx + c > 0\)) или ниже оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx + c < 0\)), выше оси \(x\) и на оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx + c \ge 0\)) или ниже оси \(x\) и на оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx + c \le 0\)).

Пусть \(A\) - событие, при котором получено Анино пальто.

Пусть \(B\) - событие, при котором получено Верино пальто.

Пусть \(C\) - событие, при котором получено Машино пальто.

Всего исходов:

\( ABC,\;ACB,\;BAC,\)

\(BCA,\;CAB,\;CBA \)

\[ n = 3!=1\cdot2\cdot3=6 \]

а) Только Аня получила своё пальто:

\[ m(ACB)=1 \]

\[ P(A)=\frac{m}{n}=\frac{1}{6} \]

б) Вера не получила своего пальто:

\[m(ACB,\;BCA,\;CAB,\;CBA)=4 \]

\[ P(\overline{B})=\frac mn=\frac{4}{6}=\frac{2}{3} \]

Ответ: а) \(\dfrac{1}{6}\); б) \(\dfrac{2}{3}\).

Пояснения:

Использованные правила:

1. Перестановки:

\[ n!=n\cdot (n-1)\cdot \ldots \cdot 1 \]

2. Классическая вероятность:

\[ P=\frac{m}{n} \]

где \(m\) — число благоприятных исходов, \(n\) — общее число равновозможных исходов.

Рассуждение:

Есть 3 подруги и 3 пальто. Возможны все перестановки — всего:

\[ 3!=6 \]

Рассматриваем все варианты распределения пальто.

Пояснение к пункту а).

Нужно, чтобы только Аня получила своё пальто, а остальные — нет.

Подходит только один вариант.

Поэтому:

\[ P(A)=\frac{m}{n}=\frac{1}{6} \]

Пояснение к пункту б).

Вера не получила своё пальто — считаем все такие варианты.

Их 4 из 6.

Следовательно:

\[ P(\overline{B})=\frac mn=\frac{4}{6}=\frac{2}{3} \]

События \(B\) и \(\overline{B}\) противоположные события, \(B\) - событие, при котором Вера получила пальто, \(\overline{B}\) - событие, при котором Вера не получила пальто.