Упражнение 810 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \((2x+1)(x+4)-3x(x+2)<0\)

\(2x^2+8x+x+4- 3x^2-6x <0\)

\(-x^2+3x+4<0\)  \(\color{red}|\times(-1)\)

\(x^2-3x-4>0\) 

\(y=x^2-3x-4\)  - парабола, ветви которой направлены вверх, так как \(a=1>0.\)

\(x^2-3x-4=0\)

\(D = (-3)^2 - 4\cdot 1 \cdot (-4) =\)

\(=9+16=25 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt{D} = 5\)

\(x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\)

\(x_{1}=\frac{3+5}{2\cdot1}=\frac{8}{2}=4.\)

\(x_{2}=\frac{3-5}{2\cdot1}=\frac{-2}{2}=-1.\)

Ответ:  \(x\in(-\infty; -1) \cup(4; +\infty).\) 

б) \((3x-2)^2-4x(2x-3)>0\)

\(9x^2-12x+4-8x^2+12x>0\)

\(x^2+4>0\)

\(y=x^2+4\) - парабола, ветви которой направлены вверх, так как \(a=1>0.\)

\(x^2+4=0\)

\(x^2=-4\) - нулей нет.

Ответ: \(x\in(-\infty ; +\infty).\)

в) \((1-6x)(1+6x)+7x(5x-2)>14\)

\(1-36x^2+35x^2-14x>14\)

\(1-x^2-14x>14\)

\(-x^2-14x-13>0\)  \(\color{red}|\times(-1)\)

\(x^2+14x+13<0\)

\(y=x^2+14x+13\) - парабола, ветви которой направлены вверх, так как \(a=1>0.\)

\(x^2+14x+13=0\)

\(D = 14^2 - 4\cdot 1 \cdot 13 =\)

\(=196-52=144 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt{D} = 12\)

\(x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\)

\(x_{1}=\frac{-14+12}{2\cdot1}=\frac{-2}{2}=-1.\)

\(x_{2}=\frac{-14-12}{2\cdot1}=\frac{-26}{2}=-13.\)

Ответ:  \(x\in(-13; -1).\)

г) \((5x+2)(x-1)-(2x+1)(2x-1)<27\)

\((5x^2-5x+2x-2)-(4x^2-1)<27\)

\(5x^2-3x-2-4x^2+1<27\)

\(x^2-3x-1<27\)

\(x^2-3x-28<0\)

\(y=x^2-3x-28\) -  парабола, ветви которой направлены вверх, так как \(a=1>0.\)

\(x^2-3x-28=0\)

\(D = (-3)^2 - 4\cdot 1 \cdot (-28) =\)

\(=9+112=121> 0\) - 2 корня.

\(\sqrt{D} = 11\)

\(x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\)

\(x_{1}=\frac{3+11}{2\cdot1}=\frac{14}{2}=7.\)

\(x_{2}=\frac{3-11}{2\cdot1}=\frac{-8}{2}=-4.\)

Ответ:  \(x\in(-4; 7).\)

д) \((2x-1)(1+2x)-x(x+4)<6\)

\(4x^2-1-x^2-4x<6\)

\(3x^2-4x-1<6\)

\(3x^2-4x-7<0\)

\(y=3x^2-4x-7\) -  парабола, ветви которой направлены вверх, так как \(a=3>0.\)

\(3x^2-4x-7=0\)

\(D=(-4)^2-4\cdot 3\cdot (-7)=\)

\(=16+84=100>0\) - 2 корня.

\(\sqrt{D}=10\)

\(x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\)

\(x_1=\dfrac{4+10}{2\cdot3}=\dfrac{14}{6}=\dfrac{7}{3}=2\frac{1}{3}\)

\(x_2=\dfrac{4-10}{2\cdot3}=-1\)

Ответ:  \(x\in\bigg(-1; 2\frac{1}{3}\bigg).\)

е) \((3x-1)x-(6-x)(x+6)<37\)

\(3x^2-x-(36-x^2)<37\)

\(3x^2-x-36+x^2<37\)

\(4x^2-x-36<37\)

\(4x^2-x-73<0\)

\(y=4x^2-x-73\) -  парабола, ветви которой направлены вверх, так как \(a=4>0.\)

\(D=(-1)^2-4\cdot 4\cdot (-73)=\)

\(=1+1168=1169>0\) - 2 корня.

\(x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\)

\(x_1=\dfrac{1+\sqrt{1169}}{8}\)

\(x_2=\dfrac{1-\sqrt{1169}}{8}\)

Ответ:  \(x\in\small{\bigg(\dfrac{1-\sqrt{1169}}{8}; \dfrac{1+\sqrt{1169}}{8}\bigg)}.\)

---

Пояснения:

Решение неравенств вида

\(ax^2 + bx + c > 0\), \(ax^2 + bx + c \ge 0\),

\(ax^2 + bx + c < 0\), \(ax^2 + bx + c \le 0\):

1) находим корни квадратного трехчлена \(ax^2 + bx + c\), если они есть;

2) если трехчлен имеет корни, то отмечаем их на оси \(x\) и через отмеченные точки проводим схематически параболу, ветви которой направлены вверх при \(a > 0\) или вниз при \(a < 0\); если трехчлен не имеет корней, то схематически изображают параболу, расположенную в верхней полуплоскости при \(a > 0\) или нижней при \(a < 0\);

3) находят на оси \(x\) промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx + c > 0\)) или ниже оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx + c < 0\)), выше оси \(x\) и на оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx + c \ge 0\)) или ниже оси \(x\) и на оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx + c \le 0\)).

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.

Дискриминант квадратного трехчлена

\(ax^2 + bx + c \):

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то квадратный трехчлен имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

Если \(D = 0\), то квадратный трехчлен имеет 1 корень:

\(x = -\frac{b}{2a}\).

Если \(D < 0\), то квадратный трехчлен не имеет корней.

В случае, когда коэффициент \(c = 0\), то есть имеем двучлен \(ax^2 + bx\), корни находим разложением многочлена на множители \(x(ax + b)\) и используем то, что произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю: \(x = 0\)  или \(ax + b = 0\), откуда \(x = -\frac{b}{a}\).

В случае, когда коэффициент \(b = 0\), то есть имеем двучлен \(ax^2 + c\), корни которого: \(x_1 = -\sqrt{\frac{-c}{a}}\) и \(x_2= \sqrt{\frac{-c}{a}}\).

При преобразовании выражений используем:

1) Раскрытие скобок по распределительному закону:

\((u+v)(p+q)=up+uq+vp+vq\).

2) Формулы сокращённого умножения:

\((a-b)(a+b)=a^2-b^2\),

\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\).

\(a^2-b^2=(a-b)(a+b).\)

\[ P(A)>0,\;P(A)<1 \]

\[ P(B)>0,\;P(B)<1 \]

\[ P(C)>0,\;P(C)<1 \]

\[ P(D)=0 \]

---

Пояснения:

Использованные правила:

1. Вероятность невозможного события равна 0.

2. Вероятность достоверного события равна 1.

3. Вероятность случайного события лежит между 0 и 1.

События \(A,\, B,\, C\) возможны, но не гарантированы, значит, их вероятность больше 0, но меньше 1.

Событие \(D\) невозможно, так как нет рыбок говорящих человечьим голосом, следовательно, его вероятность равна 0.