Упражнение 819 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(y=-2{,}5x\) - прямая.

б) \(y=2x-3\) - прямая.

в) \(y=-5\) - прямая, параллельная оси \(x\).

г) \(y=-x+4\) - прямая.

д) \(y=\dfrac{1}{2}x+3\) - прямая.

е) \(y=\dfrac{2-x}{4}\) - прямая.

Пояснения:

1. Общий вид линейной функции.

Линейная функция имеет вид

\[y=kx+b.\]

2. Как строить график.

Для построения прямой достаточно найти две точки.

3. Горизонтальная прямая.

Если функция имеет вид \(y=c\), то её график — горизонтальная прямая, параллельная оси \(Ox\).

а) \(\dfrac{x}{x-5}-\dfrac{4}{x+5}+\dfrac{76}{25-x^2}=0\)

\[ \frac{x}{x-5}-\frac{4}{x+5}-\frac{76}{x^2-25}=0 \]

\( \frac{x}{x-5} ^{\color{blue}{\backslash x+5}} -\frac{4}{x+5} ^{\color{blue}{\backslash x-5}} -\frac{76}{(x-5)(x+5)}=0 \)   \(/\times(x-5)(x+5)\)

ОДЗ: \( x\ne 5,\quad x\ne -5 \)

\[ x(x+5)-4(x-5)-76=0 \]

\[ x^2+5x-4x+20-76=0 \]

\[ x^2+x-56=0 \]

\(a = 1\),  \(b = 1\),  \(c = -56\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=1^2 - 4\cdot1\cdot(-56) = \)

\(=1 + 224 = 225 > 0\) - два действительных корня.

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\),   \(\sqrt{225} = 15\)

\(x_1 = \frac{-1 + 15}{2\cdot1}=\frac{14}{2} = 7\).

\(x_2 = \frac{-1 - 15}{2\cdot1}=\frac{-16}{2} = -8\).

Ответ: \(x = 7\),  \(x = -8\).

б) \(\dfrac{7x}{x^2-36}+\dfrac{3}{6-x}=\dfrac{7}{x+6}\).

\[ \frac{7x}{(x-6)(x+6)}-\frac{3}{x-6} ^{\color{blue}{\backslash x+6}} =\frac{7}{x+6} ^{\color{blue}{\backslash x-6}} \]

ОДЗ:   \( x\ne 6,\quad x\ne -6 \)

\[ 7x-3(x+6)=7(x-6) \]

\[ 7x-3x-18=7x-42 \]

\[ 4x-18=7x-42 \]

\(4x - 7x = -42 +18\)

\(-3x = -24\)

\(x = \frac{-24}{-3}\)

\[ x=8 \]

Ответ: \(x = 8\).

Пояснения:

Использованные правила:

1. Если в уравнении есть несколько дробей, удобно умножить обе части уравнения на общий знаменатель, тем самым, избавиться от знаменателей. При этом нужно указать область допустимых значений, то есть значения переменной, при которых знаменатель не равен нулю.

2. При разложении знаменателей на множители используем формулу разности квадратов:

\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\).

Пояснение к пункту а):

Дано уравнение

\[ \frac{x}{x-5}-\frac{4}{x+5}+\frac{76}{25-x^2}=0 \]

Преобразуем третий знаменатель:

\[ 25-x^2=-(x-5)(x+5) \]

Поэтому

\[ \frac{76}{25-x^2}=-\frac{76}{(x-5)(x+5)} \]

После этого уравнение удобно умножить на общий знаменатель \((x-5)(x+5)\), при этом указываем недопустимые значения (ОДЗ):

\[ x-5\ne 0,\quad x+5\ne 0 \]

\( x\ne 5\)              \(x\ne -5 \).

Получим:

\[ x(x+5)-4(x-5)-76=0 \]

Далее раскрываем скобки:

\[ x^2+5x-4x+20-76=0 \]

\[ x^2+x-56=0 \]

Квадратное уравнение вида

\(ax^2 + bx + c = 0\)

решаем через дискриминант:

\(D = b^2 - 4ac\).

При \(D > 0\) уравнение имеет два действительных корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\).

В результате вычислений получаем:

\[ x=-8,\quad x=7 \]

Оба значения не нарушают область допустимых значений, значит оба подходят.

Пояснение к пункту б):

Дано уравнение

\[ \frac{7x}{x^2-36}+\frac{3}{6-x}=\frac{7}{x+6} \]

Разложим разность квадратов:

\[ x^2-36=(x-6)(x+6) \]

Преобразуем вторую дробь:

\[ 6-x=-(x-6) \]

\[ \frac{3}{6-x}=-\frac{3}{x-6} \]

Тогда уравнение примет вид:

\[ \frac{7x}{(x-6)(x+6)}-\frac{3}{x-6}=\frac{7}{x+6} \]

Умножаем обе части на общий знаменатель \((x-6)(x+6)\), при этом указываем недопустимые значения (ОДЗ):

\[ 6-x\ne 0,\quad x+6\ne 0 \]

\( x\ne 6\)              \( x\ne -6 \)

Получим:

\[ 7x-3(x+6)=7(x-6) \]

Раскрываем скобки:

\[ 7x-3x-18=7x-42 \]

\[ 4x-18=7x-42 \]

Переносим слагаемые и приводим подобные:

\[ -3x = -24 \]

Откуда

\(x=\frac{-24}{-3}\)

\[ x=8 \]

Число \(8\) не является запрещённым, значит это решение подходит.