Упражнение 812 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\begin{cases}x^2-2x-3 \le 0,\\ 2x-5 \le 0\end{cases}\)

\(x^2-2x-3 \le 0\)

\(y=x^2-2x-3\) - парабола, ветви которой направлены вверх, так как \(a=1>0.\)

\(x^2-2x-3=0\)

\(D=(-2)^2-4\cdot1\cdot(-3)=\)

\(=4+12=16>0\) - 2 корня.

\(\sqrt{D}=4\)

\(x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\)

\(x_{1}=\frac{2+4}{2\cdot1}=\frac{6}{2}=3.\)

\(x_{2}=\frac{2-4}{2\cdot1}=\frac{-2}{2}=-1.\)

\(\begin{cases}-1 \le x \le 3 \le 0,\\ 2x \le 5\end{cases}\)

\(\begin{cases}-1 \le x \le 3 \le 0,\\ x \le 2,5\end{cases}\)

Ответ: \(x\in[-1; 2,5]\) 

б) \(\begin{cases}x^2-5x+6 \ge 0,\\ 2x-9 \le 0\end{cases}\)

\(x^2-5x+6 \ge 0\)

\(y=x^2-5x+6\) - парабола, ветви которой направлены вверх, так как \(a=1>0.\)

\(x^2-5x+6=0\)

\(D=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=\)

\(=25-24=1>0\) - 2 корня.

\(\sqrt{D}=1\)

\(x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\)

\(x_{1}=\frac{5+1}{2\cdot1}=\frac{6}{2}=3.\)

\(x_{2}=\frac{5-1}{2\cdot1}=\frac{4}{2}=2.\)

\(\begin{cases} x \le2   \text{или}   x \ge 3,\\ 2x \le 9\end{cases}\)

\(\begin{cases} x \le2   \text{или}   x \ge 3,\\ x\le 4,5\end{cases}\)

Ответ: \(x\in(-\infty; 2]\cup[3; 4,5].\)

в) \(\begin{cases}9-x^2 \ge 0,\\ 3-x \le 0\end{cases}\)

\(9-x^2 \ge 0\)

\(9-x^2=0\) - парабола, ветви которой направлены вниз, так как \(a=-1<0.\)

\((3-x)(3+x)=0\)

\(3-x=0\)   или   \(3+x=0\)

\(x=3\)                    \(x=-3\)

\(\begin{cases} -3\le x\le3,\\ -x \le -3\end{cases}\)

\(\begin{cases} -3\le x\le3,\\ x \ge 3\end{cases}\)

Ответ: \(x=3\)

г) \(\begin{cases}x^2+2x \ge 0,\\ 5x \ge 0\end{cases}\)

\(x^2+2x \ge 0\)

\(x^2+2x=0\)

\(x(x+2)= 0\)

\(x=0\)     или    \(x+2= 0\)

                          \(x=-2\)

\(\begin{cases}x \le -2  \text{или}     x \ge 0,\\ x \ge 0\end{cases}\)

Ответ: \(x\in[0; +\infty)\)

Пояснения:

Чтобы решить систему неравенств, нужно найти пересечение решений неравенств системы, то есть найти множество чисел, которое является одновременно решением и одного неравенства и решением другого неравенства. Если решения неравенств не пересекаются, то система решений не имеет.

Решение неравенств вида

\(ax^2 + bx + c > 0\), \(ax^2 + bx + c \ge 0\),

\(ax^2 + bx + c < 0\), \(ax^2 + bx + c \le 0\):

1) находим корни квадратного трехчлена \(ax^2 + bx + c\), если они есть;

2) если трехчлен имеет корни, то отмечаем их на оси \(x\) и через отмеченные точки проводим схематически параболу, ветви которой направлены вверх при \(a > 0\) или вниз при \(a < 0\); если трехчлен не имеет корней, то схематически изображают параболу, расположенную в верхней полуплоскости при \(a > 0\) или нижней при \(a < 0\);

3) находят на оси \(x\) промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx + c > 0\)) или ниже оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx + c < 0\)), выше оси \(x\) и на оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx + c \ge 0\)) или ниже оси \(x\) и на оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx + c \le 0\)).

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.

Дискриминант квадратного трехчлена

\(ax^2 + bx + c \):

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то квадратный трехчлен имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

Если \(D = 0\), то квадратный трехчлен имеет 1 корень:

\(x = -\frac{b}{2a}\).

Если \(D < 0\), то квадратный трехчлен не имеет корней.

В случае, когда коэффициент \(c = 0\), то есть имеем двучлен \(ax^2 + bx\), корни находим разложением многочлена на множители \(x(ax + b)\) и используем то, что произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю: \(x = 0\)  или \(ax + b = 0\), откуда \(x = -\frac{b}{a}\).

В случае, когда коэффициент \(b = 0\), то есть имеем двучлен \(ax^2 + c\), корни которого: \(x_1 = -\sqrt{\frac{-c}{a}}\) и \(x_2= \sqrt{\frac{-c}{a}}\).

1. Метод интервалов применяется к произведению вида \((x-a)(x-b)\dots\).

2. Находим нули каждого множителя — это точки, в которых знак выражения меняется.

3. Отмечаем точки на числовой прямой и определяем знак выражения на каждом интервале. Достаточно определить знак на одном интервале, а на остальных расставить знаки так, чтобы они чередовались. Чтобы определить знак на одном из интервалов, нужно взять какое-нибудь значение из рассматриваемого интервала и определить знак функции при этом значении.

4. Если знак требуется «>0» — берём интервалы со знаком "+", без корней; если «<0» — интервалы со знаком "–", без корней; если «≥0» — интервалы со знаком "+" и включаем корни; если «≤0» — интервалы со знаком "–" и включаем корни.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(+\infty\) и \(-\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.

Пусть \(A\) - событие, при котором все билеты достанутся девочкам.

Общее количество вариантов:

\(n = C_{27}^3 = \frac{27!}{3!(27-3)!} =\frac{27!}{3!\cdot24!} =\)

\(=\frac{\cancel{24!}\cdot25\cdot\cancel{26}  ^{\color{blue}{13}} \cdot\cancel{27}  ^{\color{blue}{9}} }{1\cdot\cancel2\cdot\cancel3\cdot\cancel{24!}} =\)

\(=25\cdot13\cdot9 = 2925\)

Количество вариантов, при которых все билеты достанутся девочкам:

\( m=C_{12}^3 = \frac{12!}{3!(12-3)!} =\frac{12!}{3!\cdot9!} =\)

\(=\frac{\cancel{9!}\cdot\cancel{10}  ^{\color{blue}{5}} \cdot11\cdot\cancel{12}  ^{\color{blue}{4}} }{1\cdot\cancel2\cdot\cancel3\cdot\cancel{9!}} =5\cdot11\cdot4 = 220\)

\[ P(A) = \frac{m}{n}=\frac{220}{2925} =\frac{44}{585} \]

Ответ: \(P(A) =\dfrac{44}{585}\).

Пояснения:

Использованные правила:

1. Классическая вероятность:

\[ P=\frac{m}{n} \]

где \(m\) — число благоприятных исходов, \(n\) — общее число равновозможных исходов.

2. Формула вычисления числа сочетаний из \(n\) элементов по \(k\):

\[ C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!} \]

Рассуждение:

Всего детей:

\[ 15+12=27 \]

Общее число способов выбрать 3 человек:

\[ C_{27}^3 \]

Благоприятные случаи — выбрать 3 девочек из 12:

\[ C_{12}^3 \]

Находим вероятность:

\[ P(A)=\frac{C_{12}^3}{C_{27}^3} \]

Вычисляем:

\[ C_{12}^3=220,\quad C_{27}^3=2925 \]

\[ P(A)=\frac{220}{2925}=\frac{44}{585} \]

Таким образом, вероятность того, что все билеты достанутся девочкам, равна \(\dfrac{44}{585}\).