Упражнение 701 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \((a+2b)(a-2b)(a^2+4b^2)=a^4-16b^4\);

\((a+2b)(a-2b)(a^2+4b^2)=\)

\(=(a^2-(2b)^2)(a^2+4b^2)=\)

\(=(a^2-4b^2)(a^2+4b^2)=\)

\(=(a^2)^2-(4b^2)^2=a^4-16b^4\)

\(a^4-16b^4=a^4-16b^4\) - верно.

б) \((x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)=x^8-1\);

\((x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)=\)

\(=(x^2-1)(x^2+1)(x^4+1)=\)

\(=((x^2)^2-1^2)(x^4+1)=\)

\(=(x^4-1)(x^4+1)=\)

\(=(x^4)^2-1^2=x^8-1\)

\(x^8-1=x^8-1\) - верно.

в) \((a-2)(a+2)(a^2-2a+4)(a^2+2a+4)=a^6-64\);

\((a-2)(a+2)(a^2-2a+4)(a^2+2a+4)=\)

\(=(a-2)(a^2+2a+4)(a+2)(a^2-2a+4)=\)

\(=(a^3-8)(a^3+8)=(a^3)^2-8^2=\)

\(=a^6-64.\)

\(a^6-64=a^6-64\) - верно. 

г) \((c^2-c-2)(c^2+c-2)=c^4-5c^2+4\).

\((c^2-c-2)(c^2+c-2)=\)

\(=((c^2-2)-c)((c^2-2)+c)=\)

\(=(c^2-2)^2-c^2=\)

\(=(c^4-4c^2+4)-c^2=\)

\(=c^4-5c^2+4.\)

\(c^4-5c^2+4=c^4-5c^2+4\) - верно.

Пояснения:

Используемые формулы:

1) Разность квадратов двух выражений:

\((a-b)(a+b)=a^2-b^2\).

2) Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений: 

\((a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2\).

3) Сумма кубов двух выражений: 

\((a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3\).

4) Разность кубов двух выражений: 

\((a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3\).

а) Почему получается \(a^4-16b^4\)

Сначала перемножаем первые два множителя как разность квадратов:

\((a+2b)(a-2b)=a^2-(2b)^2=a^2-4b^2\)

Далее снова разность квадратов:

\((a^2-4b^2)(a^2+4b^2)=(a^2)^2-(4b^2)^2=a^4-16b^4\)

б) Почему получается \(x^8-1\)

Сначала:

\((x-1)(x+1)=x^2-1\)

Потом объединяем \((x^2-1)(x^2+1)\) как разность квадратов:

\((x^2-1)(x^2+1)=x^4-1\)

И в конце снова разность квадратов:

\((x^4-1)(x^4+1)=x^8-1\)

в) Почему получается \(a^6-64\)

Сначала замечаем, что можно сгруппировать множители так:

\(\small (a-2)(a^2+2a+4)(a+2)(a^2-2a+4).\)

Тогда первая пара множителей дает формулу разности кубов \(a\) и \(2\), вторая сумму кубов данных выражений, имеем:

\((a^3-8)(a^3+8)\).

Получаем разность квадратов \(a^3\) и \(8\):

\((a^3)^2-8^2=a^6-64.\)

г) Почему получается \(c^4-5c^2+4\)

Представляем множители как \((u-v)(u+v)\), где \(u=c^2-2\), \(v=c\):

\((c^2-c-2)(c^2+c-2)=((c^2-2)-c)((c^2-2)+c)=(c^2-2)^2-c^2\)

Раскрываем квадрат:

\((c^2-2)^2=(c^2)^2-2\cdot c^2\cdot 2+2^2=c^4-4c^2+4\)

Вычитаем \(c^2\):

\(c^4-4c^2+4-c^2=c^4-5c^2+4\)

а) \((b_n)\) - геометрическая прогрессия.

\(b_1;\ b_2;\ 225;\ -135;\ 81;\ b_6;\ \dots\);

\(b_3=225,\ b_4=-135,\ b_5=81\)

\(q=\dfrac{b_4}{b_3}=\dfrac{-135}{225}=-\dfrac{3}{5} = -0,6\)

\(b_2=\dfrac{b_3}{q}=\dfrac{225}{-0,6} =\dfrac{2250}{6} =-375\)

\(b_1=\dfrac{b_2}{q}=\dfrac{-375}{-0,6} =\dfrac{-3750}{6} =625\)

\(b_6=b_5\cdot q=81\cdot(-0,6)=-48,6\)

Ответ: \(b_1= 625\), \(b_2= -375\),

\(b_6=-48,6\).

б) \((b_n)\) - геометрическая прогрессия.

\(b_1;\ b_2;\ b_3;\ 36;\ 54;\ \dots\).

\(b_4=36,\ b_5=54\)

\(q=\dfrac{b_5}{b_4}=\dfrac{54}{36}=\dfrac{3}{2} = 1,5\)

\(b_3=\dfrac{b_4}{q}=\dfrac{36}{1,5}=\dfrac{360}{15}=24\)

\(b_2=\dfrac{b_3}{q}=\dfrac{24}{1,5}=\dfrac{240}{15}=16\)

\(b_1=\dfrac{b_2}{q}=\dfrac{16}{1,5}=\dfrac{160}{15}= \dfrac{32}{3} = 10\dfrac{2}{3}\).

Ответ: \(b_1=10\dfrac{2}{3}\), \(b_2=16\), \(b_3=24\).

Пояснения:

Используемые правила и формулы:

1) Геометрическая прогрессия — это последовательность, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число \(q\):

\[b_{n+1}=b_n\cdot q.\]

2) Знаменатель прогрессии \(q\) находится по формуле:

\[q=\frac{b_{n+1}}{b_n}.\]

3) Чтобы найти предыдущий член, нужно разделить известный член на \(q\).

а) Так как известны три подряд идущих члена, знаменатель \(q\) находится сразу. После этого последовательно находятся неизвестные члены делением или умножением на \(q\).

б) По двум подряд идущим членам определяется знаменатель прогрессии. Затем предыдущие члены находятся делением на \(q\).