Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№697 учебника 2023-2026 (стр. 190):
Каждую из десятичных дробей \(0{,}45;\ 2{,}53;\ 31{,}98\) округлите до десятых, вычислите абсолютную и относительную погрешности приближённых значений.
№697 учебника 2014-2022 (стр. 179):
Найдите пятидесятый член арифметической прогрессии, если:
а) \(S_{20}=1000,\ S_{40}=10000\);
б) \(S_5=0{,}5,\ S_{15}=-81.\)
№697 учебника 2023-2026 (стр. 190):
№697 учебника 2014-2022 (стр. 179):
Вспомните:
№697 учебника 2023-2026 (стр. 190):
1) \(0{,}45\approx0{,}5\)
Абсолютная погрешность:
\(|0{,}45-0{,}5|=|-0{,}05|=0{,}05\)
Относительная погрешность:
\(\dfrac{0{,}05}{0{,}5}\cdot100\%=0,1\cdot100\%=10\%\)
2) \( 2{,}53\approx2{,}5\)
Абсолютная погрешность:
\(|2{,}53-2{,}5|=|0{,}03|=0{,}03\)
Относительная погрешность:
\(\dfrac{0{,}03}{2{,}5}\cdot100\%=0,012\cdot100\% =1,2\%\)
3) \(31{,}98\approx32{,}0\)
Абсолютная погрешность:
\(|31{,}98-32{,}0|=|-0{,}02|=0{,}02\)
Относительная погрешность:
\(\dfrac{0{,}02}{32}\cdot100\%=0,00625\cdot100\%=0,625\%\)
Пояснения:
При округлении до десятых оставляют одну цифру после запятой. Чтобы округлить правильно, смотрят на следующую цифру:
если она \(\ge 5\), то увеличиваем последнюю оставляемую цифру на 1;
если она \(<5\), то последнюю оставляемую цифру не изменяем.
Абсолютной погрешностью приближенного значения называют модуль разности точного и приближенного значений.
Относительной погрешностью приближенного значения называется отношение абсолютной погрешности к модулю приближенного значения.
№697 учебника 2014-2022 (стр. 179):
а) \(S_{20}=1000,\ S_{40}=10000\)
\(a_{50} - ?\)
\(S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2}\cdot n\)
\(\begin{cases} S_{20} = \dfrac{2a_1 + d(20-1)}{\cancel2}\cdot \cancel{20} ^{\color{blue}{10}} ,\\[6pt] S_{40} = \dfrac{2a_1 + d(40-1)}{\cancel2}\cdot \cancel{40} ^{\color{blue}{20}} \end{cases}\)
\(\begin{cases} (2a_1 + 19d)\cdot10=1000, / : 10 \\[6pt] (2a_1 + 39d)\cdot 20=10000 / : 20 \end{cases}\)
\(\begin{cases} 2a_1 + 19d=100, \\[6pt] 2a_1 + 39d=500 \end{cases}\) \((-)\)
1) \((2a_1 + 19d) - (2a_1 + 39d) = 100 - 500\)
\(\cancel{2a_1} + 19d - \cancel{2a_1} - 39d = -400\)
\(-20d = -400\)
\(d = \frac{-400}{-20}\)
\(d = 20\)
2) \(2a_1 + 19\cdot20=100\)
\(2a_1 + 380 = 100\)
\(2a_1 = 100 - 380 \)
\(2a_1 = -280\)
\(a_1 = \frac{-280}{2}\)
\(a_1 = -140\)
3) \(a_n = a_1 + (n-1)d\)
\(a_{50}=a_1+(50-1)d=\)
\(=-140+49\cdot20 =\)
\(=-140 + 980 =840\).
Ответ: \(a_{50}= 840\).
б) \(S_5=0{,}5,\ S_{15}=-81.\)
\(a_{50} - ?\)
\(S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2}\cdot n\)
\(\begin{cases} S_{5} = \dfrac{2a_1 + d(5-1)}{2}\cdot 5 ,\\[6pt] S_{15} = \dfrac{2a_1 + d(15-1)}{2}\cdot 15 \end{cases}\)
\(\begin{cases} S_{5} = \dfrac{2a_1 + 4d}{2}\cdot 5 ,\\[6pt] S_{15} = \dfrac{2a_1 + 14d}{2}\cdot 15 \end{cases}\)
\(\begin{cases} S_{5} = \dfrac{\cancel2(a_1 + 2d)}{\cancel2}\cdot 5 ,\\[6pt] S_{15} = \dfrac{\cancel2(a_1 + 7d)}{\cancel2}\cdot 15 \end{cases}\)
\(\begin{cases} (a_1 + 2d)\cdot5=0,5, \\[6pt] (a_1 + 7d)\cdot 15= -81 \end{cases}\)
\(\begin{cases} 5a_1 + 10d=0,5, /\times 3 \\[6pt] 15a_1 + 105d = -81 \end{cases}\)
\(\begin{cases} 15a_1 + 30d=1,5, \\[6pt] 15a_1 + 105d = -81 \end{cases}\) \((-)\)
\((15a_1 + 30d)-(15a_1 + 105d)=1,5 -(-81)\)
\(15a_1 + 30d-15a_1 - 105d=1,5 + 81\)
\(-75d = 82,5\)
\(d = \frac{82,5}{-75}\)
\(d = -1,1\)
2) \(5a_1 + 10\cdot(-1,1)=0,5\)
\(5a_1 - 11 = 0,5\)
\(5a_1 = 0,5 + 11\)
\(5a_1 = 11,5\)
\(a_1 = \frac{11,5}{5}\)
\(a_1 = 2,3\)
\(a_n = a_1 + (n-1)d\)
\(a_{50}=a_1+(50-1)d=\)
\(=2,3+49\cdot(-1,1) =\)
\(=2,3 - 53,9 =-51{,}6\)
Ответ: \(a_{50}= -51,6\).
Пояснения:
Используемые формулы:
Формула суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии:
\(S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2}\cdot n.\)
Формула \(n\) - го члена арифметической прогрессии:
\(a_n=a_1+(n-1)d.\)
Идея решения.
По известным суммам составляется система уравнений относительно \(a_1\) и \(d\). После её решения по формуле \(a_n\) находится пятидесятый член прогрессии.
Вернуться к содержанию учебника