Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№696 учебника 2023-2026 (стр. 190):
Найдите сумму первых десяти членов геометрической прогрессии \((x_n)\), если \(x_2=-32\) и \(q=-\dfrac{1}{2}.\)
№696 учебника 2014-2022 (стр. 179):
Найдите сумму первых сорока членов арифметической прогрессии, если сумма первых десяти её членов равна \(100\) и сумма первых тридцати её членов равна \(900\).
№696 учебника 2023-2026 (стр. 190):
Вспомните:
№696 учебника 2014-2022 (стр. 179):
Вспомните:
№696 учебника 2023-2026 (стр. 190):
\(x_n=x_1 q^{n-1}\)
\(x_2=x_1 q\)
\(x_1=\dfrac{x_2}{q}={-32}:{\biggl(-\frac{1}{2}\biggr)}=64\)
\(S_n=\dfrac{x_1(q^n-1)}{q-1}\)
\(\small S_{10}=\dfrac{x_1(q^{10}-1)}{q-1}=\dfrac{64\bigl(\bigl(-\frac{1}{2}\bigr)^{10}-1\bigr)}{-\frac{1}{2}-1}=\)
\(\small =\dfrac{64\biggl(\dfrac{1}{1024}-1\biggr)}{-1\frac{1}{2}}=\dfrac{64\biggl(-\dfrac{1023}{1024}\biggr)}{-\frac{3}{2}}=\)
\(=\frac{1023}{16}\cdot\frac{2}{3}=\frac{341}{8}=42\frac{5}{8}.\)
Ответ: \(S_{10}=42\frac{5}{8}.\)
Пояснения:
Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число \(q\), называемое знаменателем прогрессии.
Формула \(n\)-го члена геометрической прогрессии:
\[ b_n = b_1 \cdot q^{\,n-1}. \]
Чтобы найти первый член прогрессии, нужно выразить \(b_1\) из этой формулы:
\( b_1 = \dfrac{b_n}{q^{\,n-1}}. \)
Сумма первых \(n\) членов геометрической прогрессии при \(q \ne 1\) вычисляется по формуле:
\(S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}\)
№696 учебника 2014-2022 (стр. 179):
\((a_n)\) - арифметическая прогрессия.
\(S_{10}=100\), \(S_{30}=900\)
\(S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2}\cdot n\)
\(\begin{cases} S_{10} = \dfrac{2a_1 + d(10-1)}{\cancel2}\cdot \cancel{10} ^{\color{blue}{5}} ,\\[6pt] S_{30} = \dfrac{2a_1 + d(30-1)}{\cancel2}\cdot \cancel{30} ^{\color{blue}{15}} \end{cases}\)
\(\begin{cases} (2a_1 + 9d)\cdot5=100, / : 5\\[6pt] (2a_1 + 29d)\cdot 15=900 / : 15 \end{cases}\)
\(\begin{cases} 2a_1 + 9d=20, \\[6pt] 2a_1 + 29d=60 \end{cases}\) \((-)\)
1) \((2a_1 + 9d) - (2a_1 + 29d) = 20 - 60\)
\(\cancel{2a_1} + 9d - \cancel{2a_1} - 29d = -40\)
\(-20d = -40\)
\(d = \frac{-40}{-20}\)
\(d = 2\)
2) \(2a_1 + 9\cdot2=20\)
\(2a_1 + 18=20\)
\(2a_1 =20-18\)
\(2a_1 = 2\)
\(a_1 = 1\)
\(S_{40} = \frac{2\cdot1 + 2\cdot(40-1)}{\cancel2}\cdot \cancel{40} ^{\color{blue}{20}} =\)
\(=(2 + 2\cdot39)\cdot 20=\)
\(=(2 + 78)\cdot20=80\cdot20= 1600\)
Ответ: \(S_{40} = 1600\).
Пояснения:
Используемые правила и формулы:
1) Формула суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии:
\(S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2}\cdot n\).
2) Если известны суммы для разных значений \(n\), можно составить систему уравнений относительно \(a_1\) и \(d\).
Как решается задача.
По условиям задачи составляются два уравнения для сумм \(S_{10}\) и \(S_{30}\). Вычитая их, удобно найти разность прогрессии \(d\). После этого определяется первый член \(a_1\), и по формуле суммы находится \(S_{40}\).
Вернуться к содержанию учебника