Упражнение 318 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(x^3 + 2x^2 + 3x + 2 = 0\)

\(\pm1; \pm2\) - делители числа 2.

Если \(x = -1\), то

\((-1)^3 + 2\cdot(-1)^2 + 3\cdot(-1) + 2 = 0\)

\(-1 + 2 -3 + 2 = 0\)

\(0 = 0\) - верно.

\(x = -1\) — корень уравнения.

\(x^3 + 2x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x^2 + x + 2)\)

\((x + 1)(x^2 + x + 2)=0\)

\(x^2 + x + 2 = 0\)

\(D = 1^2 - 4\cdot1\cdot2= \)

\(=1 - 8 = -7 < 0\) - корней нет.

Ответ: \( -1\).

б) \(x^3 + 4x^2 - 3x - 6 = 0\)

\(\pm1;\, \pm2; \pm3; \pm6\) - делители числа 6.

Если \(x = -1\), то

\((-1)^3 + 4\cdot(-1)^2 - 3\cdot(-1) - 6 = 0\)

\(-1 + 4 +3 -6 =0\)

\(0=0\) - верно.

\(x = -1\) — корень уравнения.

\(x^3 + 4x^2 - 3x - 6 = (x + 1)(x^2 + 3x - 6)\)

\( (x + 1)(x^2 + 3x - 6)=0\)

\(x^2 + 3x - 6 = 0\)

\(D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) =\)

\(=9 + 24 = 33 > 0\) - 2 корня.

\(x_{1,2} = \dfrac{-3 \pm \sqrt{33}}{2}\)

Ответ: \( -1,\; \dfrac{-3 + \sqrt{33}}{2},\; \dfrac{-3 - \sqrt{33}}{2}.\)

Пояснения:

Если многочлен имеет целый корень, то он является делителем свободного члена (последнего числового коэффициента). Поэтому для уравнений с целыми коэффициентами удобно проверять несколько простых значений \(x\) (например, \(\pm1, \pm2, \pm3,\dots\)). Найденное значение, при котором многочлен обращается в ноль, даёт линейный множитель

\((x - x_0)\).

После нахождения корня \(x_0\) мы делим многочлен на \((x - x_0)\) (столбиком) и получаем многочлен меньшей степени. Процесс можно повторять, пока степень не станет 2, а затем решить квадратное уравнение стандартными способами (формула дискриминанта, разложение на множители).

Квадратное уравнение

\(ax^{2} + bx + c = 0\)

решается через дискриминант

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:

\[ x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. \]

Если \(D < 0\), то уравнение не имеет корней.

Пусть меньшая сторона прямоугольника равна \(x\) (\(x > 0\)), тогда большая сторона равна \(x + 7\).

Площадь прямоугольника:

\( x(x + 7)\).

Составим неравенство:

\(x(x + 7) \le 60\).

\(x^2 + 7x \le 60\)

\(x^2 + 7x - 60 \le 0\)

\(y = x^2 + 7x - 60\) - парабола, ветви которой направлены вверх.

\(x^2 + 7x - 60 = 0\)

\(D = 7^2 - 4\cdot1\cdot(-60) =\)

\(=49 + 240 = 289 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt{289} = 17\)

\(x_1 = \dfrac{-7 - 17}{2} = \dfrac{-24}{2}= -12\)

\(x_2 = \dfrac{-7 + 17}{2} = \dfrac{10}{2} = 5\)

\(x \in [-12; 5]\)

По условию \(x > 0\), поэтому

\(x \in (0; 5]\)

Ответ: меньшая сторона прямоугольника больше 0, но меньше 5 см.

Пояснения:

Основные правила.

1. Если площадь \(x(x+7)\le 60\), то получаем квадратное неравенство.

2. Для квадратного трёхчлена

\(ax^2+bx+c\) вычисляют дискриминант:

\(D=b^2-4ac\), который получается больше нуля и находят корни:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\)

3. отмечаем корни на оси \(x\) и через отмеченные точки проводим схематически параболу, ветви которой направлены вверх при \(a > 0\).

4. находят на оси \(x\) промежутки, для которых точки параболы расположены ниже оси \(x\) и на оси \(x\).

5. так как речь идёт о длине, значение должно быть положительным, поэтому из полученного промежутка берем только положительные значения.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.