Упражнение 315 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(x^5 - x^3 = 0\)

\(x^3(x^2 - 1) = 0\)

\(x^3 = 0\) или \(x^2 - 1 = 0\)

\(x = 0\)          \( x^2 = 1\)

                     \(x = \pm \sqrt1\)

                     \(x = \pm 1\)

Ответ: \(-1; \, 0; \, 1\).

б) \(x^6 = 4x^4\)

\(x^6 - 4x^4 = 0\)

\(x^4(x^2 - 4) = 0\)

\(x^4 = 0\) или \(x^2 - 4 = 0\)

\(x = 0\)          \(x^2 = 4\)

                     \(x =  \pm\sqrt 4\)

                    \(x = \pm 2\)

Ответ: \(-2; \, 0; \, 2\).

в) \(0{,}5x^3 = 32x\)

\(0{,}5x^3 - 32x = 0\)

\(x(0{,}5x^2 - 32) = 0\)

\(x = 0\) или \(0{,}5x^2 - 32 = 0\)

                   \(0{,}5x^2 = 32\)

                   \(x^2 = \frac{32}{0,5}\)

                   \(x^2 = \frac{320}{5}\)

                   \(x^2 = 64\)

                   \(x = \pm \sqrt{64}\)

                   \(x = \pm 8\)

Ответ: \(-8; \, 0; \, 8\).

г) \(0{,}2x^4 = 4x^2\)

\(0{,}2x^4 - 4x^2 = 0\)

\(x^2(0{,}2x^2 - 4) = 0\)

\(x^2 = 0\) или \(0{,}2x^2 - 4 = 0\)

\(x = 0\)          \( 0{,}2x^2 = 4\)

                     \(x^2 = \frac{4}{0,2}\)

                     \(x^2 = \frac{40}{2}\)

                      \(x^2 = 20\)

                      \(x = \pm \sqrt{20}\)

                      \(x = \pm \sqrt{4\cdot5}\)

                      \(x = \pm 2\sqrt{5}\)

Ответ: \(-2\sqrt{5}; \, 0; \, 2\sqrt{5}\).

Пояснения:

Используемые правила:

1. Чтобы решить уравнения вида

\(x^n - x^m = 0\), нужно вынести общий множитель. \[ x^n - x^m = x^m(x^{n-m} - 1). \]

2. Для уравнений, приводящихся к виду \[ x^k(a x^n - b) = 0, \] нужно рассматривать два случая:

\(x^k = 0\) и \(a x^n - b = 0\).

3. Уравнения вида \(x^2 = a\) приводят к решениям \[ x = \pm \sqrt{a}. \]

Свойства арифметического корня:

\(\sqrt {a^2\cdot b} = a\sqrt b\).

1) \(ax^{2}+bx+c\)

\(D=b^{2}-4ac\).

\(ax^{2}+bx+c>0\) при всех \(x\), если одновременно \(a>0\) и \(D<0\).

\(ax^{2}+bx+c<0\) при всех \(x\), если одновременно \(a<0\) и \(D<0\).

2) а) \(7x^{2}-10x+7>0\)

\(y = 7x^{2}-10x+7\) - парабола, ветви которой направлены вверх, так как \(a = 7> 0\).

\(7x^{2}-10x+7 = 0\)

\(D=(-10)^{2}-4\cdot7\cdot7=\)

\(=100-196=-96<0\) - корней нет.

\(7x^{2}-10x+7>0\) при любом \(x\).

б) \(-6y^{2}+11y-10<0\)

\(x = -6y^{2}+11y-10\) - парабола, ветви которой направлены вниз, так как \(a = -6 < 0\).

\(-6y^{2}+11y-10 = 0\)

\(D=11^{2}-4\cdot(-6)\cdot(-10)=\)

\(=121-240=-119<0\) - корней нет.

\(-6y^{2}+11y-10<0\) при любом \(y\).

в) \(4x^{2}+12x+9\ge0\)

\(y = 4x^{2}+12x+9\) - парабола, ветви которой направлены вверх, так как \(a = 4 > 0\).

\(4x^{2}+12x+9=0\)

\((2x)^{2}+2\cdot2x\cdot3+3^{2}=0\)

\((2x + 3)^2 = 0\)

\(2x+3=0\)

\(2x = -3\)

\(x = -\frac32\)

\(x = -1,5\)

\(4x^{2}+12x+9\ge0\) при любом \(x\)

г) \(\dfrac14x^{2}-8x+64\ge0\)

\(y = \dfrac14x^{2}-8x+64\) - парабола, ветви которой направлены вверх, так как \(a = \frac14 > 0\).

\(\dfrac14x^{2}-8x+64 = 0\)  \(/\times 4\)

\(x^2 - 32x + 256 = 0\)

\((x-16)^{2} = 0\)

\(x - 16 = 0\)

\(x = 16\)

\(\dfrac14x^{2}-8x+64\ge0\) при любом \(x\).

д) \(-9y^{2}+6y-1\le0\)

\(x = -9y^{2}+6y-1\) - парабола, ветви которой направлены вниз, так как \(a = -9 < 0\).

\(-9y^{2}+6y-1=0\)   \(/\times (-1)\)

\(9y^{2}-6y+1=0\)

\((3y-1)^{2} = 0\)

\(3y = 1\)

\(y = \frac13\)

\(-9y^{2}+6y-1\le0\) при любом \(y\)

е) \(-5x^{2}+8x-5<0\)

\(y =-5x^{2}+8x-5\) - парабола, ветви которой направлены вниз.

\(-5x^{2}+8x-5=0\)   \(/\times (-1)\)

\(5x^{2}-8x+5=0\)

\(D=(-8)^{2}-4\cdot5\cdot5=\)

\(=64-100=-36<0\) - корней нет.

\(-5x^{2}+8x-5<0\) при любом \(x\).

Пояснения:

Общие правила для квадратных неравенств.

Квадратный трёхчлен \(ax^{2}+bx+c\) имеет дискриминант

\[D=b^{2}-4ac.\]

Если \(D<0\), то у уравнения

\(ax^{2}+bx+c=0\) нет действительных корней, а парабола не пересекает ось \(Ox\).

Тогда знак трёхчлена совпадает со знаком коэффициента \(a\) при любых \(x\):

• если \(a>0\) и \(D<0\), то

\(ax^{2}+bx+c>0\) для всех \(x\);

• если \(a<0\) и \(D<0\), то

\(ax^{2}+bx+c<0\) для всех \(x\).

Если \(D=0\), то трёхчлен можно записать как полный квадрат, учитывая формулы квадрата суммы и квадрата разности:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\),

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).

и знак определяется знаком \(a\): при \(a>0\) получаем \(\ge0\), при \(a<0\) получаем \(\le0\); нуль достигается в одной точке.