Упражнение 309 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

1) \(x^{3} - x + 3 = 0\)

Делители числа \(3\):

\(\pm1,\, \pm3\).

Если \(x = 1\), то

\(1^3-1+3 = 1-1+3=3\neq0\)

Если \(x = -1\), то

\((-1)^3-(-1)+3=-1+1+3=\)

\(=3\neq0\).

Если \(x = 3\), то

\(3^3 - 3 + 3=27-3+3=27\neq0\).

Если \(x = -3\), то

\((-3)^3 - (-3) + 3=-27+3+3=\)

\(=-21\neq0\).

Целых корней нет.

2) \(x^{4} + 5x^{2} + 4 = 0\)

\(x^4 \ge 0\), \(x^2 \ge 0\), тогда

\(x^{4} + 5x^{2} + 4 > 0\)

Уравнение не имеет корней.

3) \(x^{4} + x^{2} - 20 = 0\)

Делители числа \(20\):

\(\pm1,\, \pm2,\, \pm4,\, \pm5,\, \pm10,\, \pm20\).

Если \(x = 1\), то

\(1^{4} + 1^{2} - 20 = -18 \neq 0\).

Если \(x = -1\), то

\((-1)^{4} + (-1)^{2} - 20 =\)

\(=1 + 1 - 20 =-18 \neq 0\).

Если \(x = 2\), то

\(2^{4} + 2^{2} - 20 =16 + 4 - 20 = 0\)

\(x = 2\) - корень уравнения.

Если \(x = -2\), то

\((-2)^{4} + (-2)^{2} - 20 =\)

\(=16 + 4 - 20 = 0\).

\(x = -2\) - корень уравнения.

Уравнение имеет не менее двух целых корней.

4) \(x^{3} - 5x + 4 = 0\)

Делители числа \(4\):

\(x=\pm1,\pm2,\pm4\).

Если \(x = 1\), то

\(1^{3} - 5\cdot1 + 4 =1-5+4= 0\)

\(x = 1\) - корень уравнения.

Если \(x = -1\), то

\((-1)^{3} - 5\cdot(-1) + 4 =\)

\(=-1+5+4= 8 \neq0\)

Если \(x = 2\), то

\(2^{3} - 5\cdot2 + 4 =8-10+4= 2 \neq0\)

Если \(x = -2\), то

\((-2)^{3} - 5\cdot(-2) + 4 =\)

\(=-8+10+4= 6 \neq0\)

Если \(x = 4\), то

\(4^{3} - 5\cdot4 + 4 =64-20+4=\)

\(=48 \neq0\)

Если \(x = -4\), то

\((-4)^{3} - 5\cdot(-4) + 4 =\)

\(=-64+20+4= -40 \neq0\)

Уравнение имеет один целый корень.

Ответ: уравнение 4.

Пояснения:

Для многочлена с целыми коэффициентами возможные целые корни являются делителями свободного члена (последний коэффициент). Поэтому подстановкой проверяем эти числа и выбираем то уравнение, в котором только один целый корень.

Во втором уравнении подстановку не выполняем, так как в нем четные степени и значение выражения всегда будет положительным, так как свободный член больше нуля, то есть то уравнение не имеет никаких корней.

а) \(0{,}01x^2 \le 1 \)

\(0{,}01x^2 - 1 \le 0 \)

\(y = 0{,}01x^2 - 1\) - парабола, ветви которой направлены вверх, так как \(a = 0,01 > 0\).

\(0,01x^2 - 1 = 0\)

\(0,01x^2 = 1\)  \(/\times 100\)

\(x^2 = 100\)

\(x = \pm \sqrt{100}\)

\(x = \pm10\)

Ответ: \(x \in [-10; 10]\).

б) \(\dfrac12 x^2 > 12 \)

\(\dfrac12 x^2 - 12 > 0 \)

\(y = \dfrac12 x^2 - 12\) - парабола, ветви которой направлены вверх, так как \(a = \dfrac12 > 0\).

\(\dfrac12 x^2 - 12 = 0\)

\(\dfrac12 x^2 = 12\)   \(/\times 2\)

\(x^2 = 24\)

\(x = \pm \sqrt{24}\)

\(x = \pm \sqrt{4\cdot6}\)

\(x = \pm 2\sqrt{6}\)

Ответ: \(x \in (-\infty; -2\sqrt{6}) \cup (2\sqrt{6}; +\infty)\).

в) \(4x \le -x^2\)

\(4x + x^2 \le 0\)

\(y = 4x + x^2\) - парабола, ветви которой направлены вверх, так как \(a = 1 > 0\).

\(4x + x^2 = 0\)

\(x(4 + x) = 0\)

\(x = 0\)   или   \(4 + x = 0\)

                       \(x = -4\)

Ответ: \(x \in [-4; 0]\).

г) \(\dfrac13 x^2 > \dfrac19 \)

\(\dfrac13 x^2 - \dfrac19 > 0 \)

\(y = \dfrac13 x^2 - \dfrac19\) - парабола, ветви которой направлены вверх, так как \(a = \frac13 > 0\).

\(\dfrac13 x^2 - \dfrac19 = 0\)

\(\dfrac13 x^2 = \dfrac19 \)    \(/\times 3\)

\(x^2 = \dfrac13 \)

\(x = \pm \sqrt{\dfrac13} \)

\(x = \pm \dfrac{1}{\sqrt{3}} \)

Ответ: \(x \in \left(-\infty; -\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right) \cup \left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}; +\infty\right)\).

д) \(5x^2 > 2x \)

\(5x^2 - 2x > 0\)

\(y = 5x^2 - 2x\) - парабола, ветви которой направлены вверх, так как \(a = 5 > 0\).

\(5x^2 - 2x = 0\)

\(x(5x-2) = 0\)

\( x = 0\)   или   \(5x - 2 = 0\)

                       \(5x = 2\)

                       \(x = \dfrac{2}{5}\)

                       \(x = 0,4\)

Ответ: \(x \in (-\infty; 0) \cup (0,4; +\infty)\).

е) \(-0{,}3x < 0{,}6x^2 \)

\(-0{,}3x - 0{,}6x^2 < 0 \)

\(y = -0{,}3x - 0{,}6x^2\) - парабола, ветви которой направлены вниз, так как \(a = -0,6 < 0\).

\( -0{,}3x - 0{,}6x^2 = 0\)   \(/\times (-10)\)

\( 3x + 6x^2 = 0\)  

\(x(3 + 6x) = 0\)

\(x = 0\)   или   \(3 + 6x = 0\)

                       \(6x = -3\)

                        \(x = -\frac{3}{6}\)

                        \(x = -0,5\)

Ответ: \(x \in (-\infty; -0,5) \cup (0; +\infty)\).

Пояснения:

Решение неравенств вида

\(ax^2 + bx > 0\), \(ax^2 + bx < 0\),

\(ax^2 + c > 0\), \(ax^2 + c < 0\)::

1) находим корни уравнений

\(ax^2 + bx = 0\), \(ax^2 + c = 0\).

2) отмечаем корни уравнений на оси \(x\) и через отмеченные точки проводим схематически параболу, ветви которой направлены вверх при \(a > 0\) или вниз при \(a < 0\);

3) находят на оси \(x\) промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx > 0\) или \(ax^2 + c > 0\)) или ниже оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx < 0\) или \(ax^2 + c < 0\)).

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.

Корни уравнения \(ax^2 + bx\) находим разложением многочлена на множители \(x(ax + b)\) и используем то, что произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю: \(x = 0\)  или \(ax + b = 0\), откуда \(x = -\frac{b}{a}\).

Чтобы найти корни уравнения \(ax^2 + c = 0\), переносим коэффициент \(c\) в правую сторону: \(ax^2  = -с\), затем делим обе части уравнения на \(a\): \(x^2  = \frac{-с}{a}\), откуда получаем \(x_1 = -\sqrt{\frac{-c}{a}}\) и \(x_2= \sqrt{\frac{-c}{a}}\).