Упражнение 214 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(12x^{5} + 7x^{3} + 11x - 3 = 121\)

\(12x^{5} + 7x^{3} + 11x - 3 - 121 = 0\)

\(12x^{5} + 7x^{3} + 11x - 124 = 0\)

Если \(x < 0\), то

\(12x^{5}<0,\)   \(7x^{3}<0,\)   \(11x<0\),

\(12x^{5} + 7x^{3} + 11x - 124 < 0\)

Значит, отрицательное число не может быть корнем уравнения.

Пояснения:

При нечётной степени отрицательное число остаётся отрицательным: \[x^{3}<0,\quad x^{5}<0.\]

Умножение отрицательного числа на положительный коэффициент сохраняет знак: \[12x^{5}<0,\; 7x^{3}<0,\; 11x<0.\]

Сумма отрицательных чисел всегда отрицательна. Поэтому левая часть уравнения при всех \(x<0\) отрицательная, то есть не может быть равна нулю. Следовательно, отрицательное число не может быть корнем рассматриваемого уравнения.

а) \(\frac{1}{6}x^2 + \frac{2}{3}x - 2 = 0\)    \(/\times6\)

\(x^2 + 4x - 12 = 0\)

\(a=1\),  \(b = 4\),  \(c = -2\)

\(D =b^2 - 4ac= 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) =\)

\(=16 + 48 = 64,\)      \(\sqrt{D} = 8.\)

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\( x_1 = \frac{-4 + 8}{2\cdot1}= \frac{4}{2} = 2\),

\( x_2 = \frac{-4 - 8}{2\cdot1}= \frac{-12}{2} = -6\).

Ответ: \(2;   -6\).

б) \(\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x - \frac{1}{4} = 0\)    \(/\times12\)

\(6x^2 - 4x - 3 = 0\)

\(a=6\),  \(b = -4\),  \(c = -3\)

\(D =b^2-4ac=\)

\(=(-4)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-3) =\)

\(=16 + 72 = 88,\)    

\(\sqrt D =\sqrt{88} =\sqrt{4\cdot22}= 2\sqrt{22}.\)

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt D}{2a} = \frac{-(-4) \pm 2\sqrt{22}}{2\cdot6} =\)

\(=\frac{4 \pm 2\sqrt{22}}{12}=\frac{\cancel2(2 \pm \sqrt{22})}{\cancel{12}_6}=\)

\( =\frac{2 \pm \sqrt{22}}{6}\)

Ответ: \( \frac{2+\sqrt{22}}{6}, \; \frac{2-\sqrt{22}}{6}.\)

в) \(-x^2 + 4x - 2\frac{3}{4} = 0 \)

\(-x^2 + 4x - 2,75 = 0\)     \(/\times(-4)\)

\(4x^2 - 16x + 11 = 0\)

\(a=4\),  \(b = -16\),  \(c =11\)

\(D =b^2 - 4ac= (-16)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 11 =\)

\(=256 - 176 = 80,\)   

\(\sqrt D = \sqrt{80} = \sqrt{16\cdot5} = 4\sqrt5.\)

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt D}{2a} = \frac{-(-16) \pm 4\sqrt{5}}{2\cdot4} =\)

\(=\frac{\cancel4(4 \pm \sqrt{5})}{\cancel8_2}=\frac{4 \pm \sqrt{5}}{2}\).

Ответ: \( \frac{4 + \sqrt{5}}{2}, \; \frac{4 - \sqrt{5}}{2}.\)

г) \(0,4x^2 - x + 0,2 = 0\)     \(/\times5\)

\(2x^2 - 5x + 1 = 0\)

\(a=2\),  \(b = -5\),  \(c = 1\)

\(D =b^2 - 4ac= (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 =\)

\(=25 - 8 = 17,\)     \(\sqrt D =\sqrt{17}.\)

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt D}{2a} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{17}}{2\cdot2} =\)

\(=\frac{5 \pm \sqrt{17}}{4}. \)

Ответ: \( \frac{5+\sqrt{17}}{4}, \;  \frac{5-\sqrt{17}}{4}.\)

Пояснения:

Корнем квадратного трехчлена называют значение переменной, при котором значение квадратного трехчлена равно нулю, то есть чтобы найти корни квадратного трехчлена \(ax^2 + bx + c\), нужно решить уравнение \(ax^2 + bx + c=0\).

Для каждого трёхчлена мы умножили уравнение на общий знаменатель (если были дроби), затем вычислили дискриминант: \(D = b^2 - 4ac, \) и нашли корни по формуле: \( x_{1, 2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. \)

Использованные приемы:

- свойство корня:

\(\sqrt {ab} = \sqrt a\cdot \sqrt b\);

- вынесение общего множителя за скобки:

\(ka \pm kb = k(a \pm b)\);

- сокращение дробей:

\(\frac{ka}{kb} = \frac{a}{b}\).