Вернуться к содержанию учебника
Решите уравнение:
а) \((8x-1)(2x-3)-(4x-1)^{2}=38\);
б) \(\dfrac{(15x-1)(1+15x)}{3}=2\dfrac{2}{3}\);
в) \(0{,}5y^{3}-0{,}5y(y+1)(y-3)=7\);
г) \(x^{4}-x^{2}=\dfrac{(1+2x^{2})(2x^{2}-1)}{4}\).
Вспомните:
а) \((8x-1)(2x-3)-(4x-1)^{2}=38\)
\(16x^{2}-24x-2x+3-(16x^{2}-8x+1)=38\)
\(\cancel{16x^{2}}-26x+3-\cancel{16x^{2}}+8x-1=38\)
\(-18x+2=38\)
\(-18x=38-2\)
\(-18x=36\)
\(x = -\frac{36}{18}\)
\(x=-2\)
Ответ: \(x=-2\).
б) \(\dfrac{(15x-1)(1+15x)}{3}=2\dfrac{2}{3}\)
\(\dfrac{(15x-1)(1+15x)}{3}=\dfrac{8}{3}\) \(/\times 3\)
\((15x-1)(1+15x)=8\)
\((15x-1)(15x+1)=8\)
\(225x^{2}-1=8\)
\(225x^{2}=8 + 1\)
\(225x^{2}=9\)
\(x^{2}=\frac{9}{225}\)
\(x=\pm\sqrt{\dfrac{9}{225}}\)
\(x=\pm\dfrac{3}{15}\)
\(x=\pm\dfrac{1}{5}\)
\(x=\pm0,2\)
Ответ: \(x=\pm0,2\).
в) \(0{,}5y^{3}-0{,}5y(y+1)(y-3)=7\) \(/\times 2\)
\(y^{3}-y(y+1)(y-3)=14\)
\(y^{3}-y(y^2-3y+y-3) = 14\)
\(y^{3}-y(y^2-2y-3) = 14\)
\(\cancel{y^3} - \cancel{y^3} +2y^2 + 3y = 14\)
\(2y^2 + 3y - 14=0\)
\(a = 2\), \(b = 3\), \(c = -14\)
\(D=b^2 -4ac=3^{2}-4\cdot2\cdot(-14)=\)
\(=9 + 112 = 121\).
\(y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\), \(\sqrt D = 11\).
\(y_1=\dfrac{-3+11}{2\cdot2}=\frac{8}{4}=2.\)
\(y_2=\dfrac{-3-11}{2\cdot2}=\frac{-14}{4}=-\frac72=-3,5.\)
Ответ: \(y = -3,5,\) \(y = 2.\)
г) \(x^{4}-x^{2}=\dfrac{(1+2x^{2})(2x^{2}-1)}{4}\) \(/\times4\)
\(4(x^{4} - x^{2}) = (2x^{2} + 1)(2x^{2} - 1)\)
\(4x^{4} - 4x^{2} =4x^{4} - 1\)
\(\cancel{4x^{4}} -4x^{2} - \cancel{4x^{4}} = -1\)
\(-4x^{2} = -1\)
\(x^2 = \frac{-1}{-4}\)
\(x^2 = \frac14\)
\(x = \pm \sqrt{\frac14}\)
\(x = \pm \frac12\)
Ответ: \(x = \pm \frac{1}{2}\).
Пояснения:
В каждом уравнении сначала выполняем преобразования (раскрываем скобки, избавляемся от знаменателей, приводим подобные), чтобы упростить уравнение.
В пункте а) сначала раскрываем скобки и приводим подобные члены, получая линейное уравнение \(ax = b\), корень которого \(x = \frac{b}{a}\).
В пункте б) правая часть переводится в неправильную дробь \(\dfrac{8}{3}\), после умножения уравнения на 3 видно, знаменатель уходит. Затем в левой части уравнения применяем формулу разности квадратов, получаем неполное квадратное уравнение вида \(ax^2 = b\), откуда \(x^2 = \frac{b}{a}\), тогда
\(x = \sqrt{\frac{b}{a}}\).
В пункте в) удобнее убрать множитель \(0{,}5\), умножив уравнение на 2. Затем раскрываем произведение
\(y(y+1)(y-3)\), сокращаются кубические члены, и остаётся квадратное уравнение вида
\(ay^2 + by + c = 0\), которое решаем через дискриминант.
В пункте г) в учебнике допущена опечатка, в левой части уравнения вместо умножения должно быть вычитание. При решении уравнения сначала умножаем уравнение на 4, после чего знаменатель уходит. Затем в правой части уравнения применяем формулу разности квадратов двух выражений, приводим подобные и получаем неполное квадратное уравнение вида \(ax^2 = b\), откуда
\(x^2 = \frac{b}{a}\), тогда \(x = \sqrt{\frac{b}{a}}\).
Вернуться к содержанию учебника