Упражнение 797 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 202

а) \(2{,}6 < \sqrt7 < 2{,}7\) и \(2{,}2 < \sqrt5 < 2{,}3\)

\(2{,}6 + 2{,}2 < \sqrt7 + \sqrt5 < 2{,}7 + 2{,}3\)

\(4{,}8 < \sqrt7 + \sqrt5 < 5.\)

б) \(2{,}6 < \sqrt7 < 2{,}7\) и \(2{,}2 < \sqrt5 < 2{,}3\)

\(\sqrt7 - \sqrt5=\sqrt7 +(- \sqrt5)\)

\(-2{,}3 < -\sqrt5 < -2{,}2\)

\(2{,}6+( - 2{,}3) < \sqrt7 +(- \sqrt5) < 2{,}7+( - 2{,}2)\)

\(0{,}3 < \sqrt7 - \sqrt5 < 0{,}5.\)

в) \(2{,}6 < \sqrt7 < 2{,}7\) и \(2{,}2 < \sqrt5 < 2{,}3\)

\(\sqrt{35} = \sqrt7 \cdot \sqrt5\)

\(2{,}6 \cdot 2{,}2 < \sqrt7 \cdot \sqrt5 < 2{,}7 \cdot 2{,}3\)

\(5{,}72 < \sqrt{35} < 6{,}21.\)

Пояснения:

Использованные правила оценки:

1) Если почленно сложить верные неравенства одного знака, то получится верное неравенство.

2) При выполнении вычитания неравенств, учитываем то, что вычитание можно заменить сложением с противоположным числом:

\(a - b = a + (-b)\).

Свойство числовых неравенств:

- если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный.

3) Если почленно перемножить верные неравенства одного знака, левые и правые части которых - положительные числа, то получится верное неравенство.

а) \( 4x-5x^2<0 \)

\( -5x^2 + 4x < 0\)

\(y = -5x^2 + 4x\) - парабола, ветви вниз.

\[ -5x^2+4=0 \]

\[ x(-5x+4)=0 \]

\( x=0\) или \(-5x+4 = 0\)

                    \(-5x = - 4\)

                     \(x=\frac{4}{5} \)

                     \(x = 0,8\)

Ответ: \(x\in (-\infty;0)\cup (0,8;+\infty) \).

б) \( 9x^2<-5x \)

\[ 9x^2+5x<0 \]

\(y = 9x^2+5x\) - парабола, ветви вверх.

\(9x^2+5x = 0\)

\[ x(9x+5)<0 \]

\( x=0\)  или  \(9x + 5 = 0\)

                    \(9x = -5\)

                    \(x=-\frac{5}{9} \)

Ответ: \(x \in \left(-\frac{5}{9};0\right) \).

в) \( 6x^2-x-35>0 \)

\(y = 6x^2-x-35\) - парабола, ветви вверх.

\(6x^2-x-35 = 0\)

\(a = 6\),  \(b = -1\),  \(c = - 35\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\( =(-1)^2-4\cdot 6\cdot (-35)=\)

\(=1+840=841 > 0\) - два действительных корня.

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),  \( \sqrt{D}=29 \)

\[ x_1=\frac{1-29}{12}=-\frac{28}{12}=-\frac{7}{3} = -2\frac13 \]

\[ x_2=\frac{1+29}{12}=\frac{30}{12}=\frac{5}{2} = 2,5\]

Ответ: \( \left(-\infty;-2\frac{1}{3}\right)\cup(2,5;+\infty) \).

Пояснения:

Решение неравенств вида

\(ax^2 + bx + c > 0\), \(ax^2 + bx + c < 0\):

1) находим корни квадратного трехчлена \(ax^2 + bx + c\), если они есть;

2) если трехчлен имеет корни, то отмечаем их на оси \(x\) и через отмеченные точки проводим схематически параболу, ветви которой направлены вверх при \(a > 0\) или вниз при \(a < 0\); если трехчлен не имеет корней, то схематически изображают параболу, расположенную в верхней полуплоскости при \(a > 0\) или нижней при \(a < 0\);

3) находят на оси \(x\) промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx + c > 0\)) или ниже оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx + c < 0\)).

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку. У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.

Дискриминант квадратного трехчлена

\(ax^2 + bx + c \):

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то квадратный трехчлен имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

Если \(D = 0\), то квадратный трехчлен имеет 1 корень:

\(x = -\frac{b}{2a}\).

Если \(D < 0\), то квадратный трехчлен не имеет корней.

В случае, когда коэффициент \(c = 0\), то есть имеем двучлен \(ax^2 + bx\), корни находим разложением многочлена на множители \(x(ax + b)\) и используем то, что произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю: \(x = 0\)  или \(ax + b = 0\), откуда \(x = -\frac{b}{a}\).