Упражнение 796 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 202

\(14{,}3 \le a \le 14{,}4\) и \(25{,}1 \le b \le 25{,}2\).

1) \(P = 2(a + b)\)

\(2(14{,}3 + 25{,}1) \le2(a + b) \le 2(14{,}4 + 25{,}2)\)

\(2 \cdot 39{,}4\le2(a + b) \le 2 \cdot 39{,}6\)

\(78{,}8\le2(a + b) \le 79{,}2\)

\(78{,}8 \le P \le 79{,}2\)

2) \(S = ab\)

\(14{,}3 \cdot 25{,}1 \le ab \le 14{,}4 \cdot 25{,}2\)

\(358{,}93 \le ab \le 362{,}88\)

\(358{,}93 \le S \le 362{,}88\)

Ответ: \(78{,}8 \le P \le 79{,}2;\\358{,}93 \le S \le 362{,}88\)

Пояснения:

1) Если почленно сложить верные неравенства одного знака, то получится верное неравенство.

То есть, если  \(x\) и \(y\) изменяются в пределах \(\,x_{\min} \le x \le x_{\max}\,\) и \(\,y_{\min} \le y \le y_{\max}\,\), то для суммы:

\(x_{\min} + y_{\min} \le x + y \le x_{\max} + y_{\max}\)

2) Если почленно перемножить верные неравенства одного знака, левые и правые части которых - положительные числа, то получится верное неравенство.

То есть если \(x \ge 0\) и \(y \ge 0\), то для произведения:

\(x_{\min}y_{\min} \le xy \le x_{\max}y_{\max}\)

3)  Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство.

В этой задаче \(a\) и \(b\) положительные, поэтому минимум и максимум площади получаются при перемножении крайних значений: минимальных и максимальных.

Для периметра \(P = 2(a+b)\) сначала оцениваем сумму \(a+b\): минимальное значение берём при минимальных \(a\) и \(b\), максимальное — при максимальных \(a\) и \(b\). Затем умножаем границы на 2.

Для площади \(S = ab\) так как оба множителя положительные, наименьшая площадь будет при \(a_{\min}\) и \(b_{\min}\), а наибольшая — при \(a_{\max}\) и \(b_{\max}\).

Итоговые оценки:

\(78{,}8 \le P \le 79{,}2\), \(\;358{,}93 \le S \le 362{,}88\).

а) \(f(x)=x^2-10x-17\) - парабола, ветви вверх.

\[ D(f)=(-\infty;+\infty) \]

\(x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{10}{2} = 5\).

\(f(x_0) = 5^2 - 10\cdot5-17 = \)

\(=25 -50 -17 = -42\).

\((5; \, -42)\) - вершина параболы.

\[ E(f)=[-42;+\infty) \]

Ответ: \( D(f)=(-\infty;+\infty) \),

\( E(f)=[-42;+\infty) \)

б) \(g(x)=\dfrac{1}{|x|-x}\)

Если \( x\ge 0\), то \(|x|=x \)

\(g(x)=\dfrac{1}{x-x} = \frac10\) - не имеет смысла.

Если \( x<0\), то \( |x|=-x\)

\(g(x)=\dfrac{1}{-x-x} = -\frac{1}{2x}\)

\[ D(g)=(-\infty;0) \]

\[ E(g)=(0;+\infty) \]

Ответ: \(D=(-\infty;0),\; E=(0;+\infty)\).

Пояснения:

Использованные правила:

1. Область определения — все значения \(x\), при которых выражение имеет смысл.

2. Графиком квадратичной функции \(y=ax^2+bx+c\) является парабола. При \(a > 0\) ветви параболы направлены вверх и парабола ограничена снизу. Поэтому областью определения параболы являются все действительные числа, а область значения определяется после нахождения координат вершины параболы.

3. Модуль:

\[ |x|=\begin{cases} x, & x\ge 0\\ -x, & x<0 \end{cases} \]

4. Дробь не определена, если знаменатель равен нулю.