Упражнение 800 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\dfrac{12-1{,}5b}{5} < \dfrac{11-0{,}5b}{2}\)    \(\color{red}|\times10\)

\(10\cdot\dfrac{12-1{,}5b}{5} < 10\cdot\dfrac{11-0{,}5b}{2}\)

\(2(12-1{,}5b) < 5(11-0{,}5b)\)

\(24-3b < 55-2{,}5b\)

\(-3b+2{,}5b < 55-24\)

\(-0,5b < 31\)    \(\color{red}|:(-0,5)\)

\(b > \dfrac{31}{-0{,}5}\)

\(b > -62\)

Ответ: при \(b \in( -62; +\infty). \)

б) \(\dfrac{1{,}4+b}{4} > \dfrac{2{,}6+3b}{2}\)   \(\color{red}|\times4\)

\(4\cdot\dfrac{1{,}4+b}{4} > 4\cdot\dfrac{2{,}6+3b}{2}\)

\(1{,}4+b > 2(2{,}6+3b)\)

\(1{,}4+b > 5{,}2+6b\)

\(b-6b > 5{,}2-1,4\)

\(-5b > 3,8\)    \(\color{red}|:(-5)\)

\(b < \dfrac{3{,}8}{-5}\)

\(b < -0{,}76\)

Ответ: при \(b \in( -\infty; -0,76). \)

в) \(\dfrac{6b-1}{b} \le \dfrac{16-2b}{9-b}\)

\(\dfrac{6b-1}{b}-\dfrac{16-2b}{9-b} \le 0\)

\(\dfrac{(6b-1)(9-b)-b(16-2b)}{b(9-b)} \le 0\)

\(\dfrac{54b-9-6b^2+b-16b+2b^2}{b(9-b)} \le 0\)

\(\dfrac{-4b^2+39b-9}{b(9-b)} \le 0\)

\(\dfrac{4b^2-39b+9}{b(b-9)} \le 0\)

\(4b^2-39b+9=0\)

\(D=b^2-4ac=39^2-4\cdot 4\cdot 9=\)

\(=1521-144=1377=81\cdot 17\)

\(\sqrt{D}=9\sqrt{17}\)

\(b_{1,2}=\dfrac{-b'\pm \sqrt{D}}{2a}\)

\(b_1=\dfrac{39+9\sqrt{17}}{8}\approx\dfrac{39+36}{8}=9,375 \)

\(b_2=\dfrac{39-9\sqrt{17}}{8}\approx\dfrac{39-36}{8}=0,375\)

\(\small 4b^2-39b+9=\)

\(\small=4\bigg(b-\dfrac{39+9\sqrt{17}}{8}\bigg)\bigg(b-\dfrac{39-9\sqrt{17}}{8}\bigg)\)

\(\small \dfrac{4\bigg(b-\dfrac{39+9\sqrt{17}}{8}\bigg)\bigg(b-\dfrac{39-9\sqrt{17}}{8}\bigg)}{b(b-9)} \le 0\)

\(\small \begin{cases} 4\bigg(b-\dfrac{39+9\sqrt{17}}{8}\bigg)\bigg(b-\dfrac{39-9\sqrt{17}}{8}\bigg)b(b-9) \le 0\\ b\ne 0 \\ b\ne 9  \end{cases} \)

\(\small b\in\bigg(0; \dfrac{39-9\sqrt{17}}{8}\bigg]\cup \bigg(9; \dfrac{39+9\sqrt{17}}{8}\bigg].\)

Ответ: при \(\small b\in\bigg(0; \dfrac{39-9\sqrt{17}}{8}\bigg]\cup \bigg(9; \dfrac{39+9\sqrt{17}}{8}\bigg].\)

Пояснения:

Сначала в каждом неравенстве избавляемся от знаменателей, домножив неравенство на знаменатель дроби, входящей в него, или на общий знаменатель дробей, входящих в неравенство, учитывая то, что если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство.

Затем при решении неравенств используем то, что:

- если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.

При всех значениях \(x\), при которых дробь \(\frac{x - a}{x-b}\) имеет смысл, знак этой дроби совпадает со знаком произведения \((x - a)(x-b)\), поэтому неравенства \(\frac{x - a}{x-b} \le 0\) и \(\frac{x - a}{x-b} \ge 0\) равносильны системам:

\(\begin{cases} (x-a)(x-b) \le 0, \\ x - b \ne 0;\end{cases}\) и

\(\begin{cases} (x-a)(x-b) \ge 0, \\ x - b \ne 0.\end{cases}\)

При решении неравенств вида \((x-a)(x-b)\dots\) используют метод интервалов.

Находим нули каждого множителя — это точки, в которых знак выражения меняется.

Отмечаем точки на числовой прямой и определяем знак выражения на каждом интервале. Достаточно определить знак на одном интервале, а на остальных расставить знаки так, чтобы они чередовались. Чтобы определить знак на одном из интервалов, нужно взять какое-нибудь значение из рассматриваемого интервала и определить знак функции при этом значении.

Обратите внимание, значение \(x\), при котором знаменатель равен нулю, всегда обозначается "выколотой" (незакрашенной) точкой, независимо от знака неравенства, так как функция в этой точке не существует.

Если знак требуется «>0» — берём интервалы со знаком "+", без корней; если «<0» — интервалы со знаком "–", без корней; если «≥0» — интервалы со знаком "+" и включаем корни; если «≤0» — интервалы со знаком "–" и включаем корни.

Пусть \(A\) - событие, при котором сумма цифр двузначного числа равна \(6\).

Всего \(90\) чисел.

Двузначные числа, сумма цифр которых равна 6:

\[ 15,\;24,\;33,\;42,\;51,\;60 \]

\[ P(A)=\frac{6}{90}=\frac{1}{15} \]

Ответ: \(P(A)=\dfrac{1}{15}\).

Пояснения:

Классическая вероятность:

\[ P=\frac{m}{n}, \]

где \(m\) — число благоприятных исходов, \(n\) — общее число равновозможных исходов.

Двузначные числа — это числа от 10 до 99.

Общее количество таких чисел:

\[ 99-10+1=90 \]

Теперь найдём числа, у которых сумма цифр равна 6.

Перебираем варианты:

\[ 1+5=6 \Rightarrow 15 \]

\[ 2+4=6 \Rightarrow 24 \]

\[ 3+3=6 \Rightarrow 33 \]

\[ 4+2=6 \Rightarrow 42 \]

\[ 5+1=6 \Rightarrow 51 \]

\[ 6+0=6 \Rightarrow 60 \]

Всего таких чисел 6.

Тогда вероятность:

\[ P=\frac{6}{90}=\frac{1}{15} \]