Упражнение 746 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\[1\dfrac{1}{4}\text{ ч}=\frac{5}{4}\text{ ч}\]

\(60 - 21 = 39\) (км) - проехал велосипедист.

\(x > 18\)

Составим уравнение:

\(\frac{39}{x-18} - \frac{60}{x} = \frac{5}{4}\) \(/\times 4x(x-18)\)

\(156x - 240(x - 18) = 5x(x - 18)\)

\(156x - 240x + 4320  = 5x^2 - 90x\)

\(-84x + 4320 = 5x^2 - 90x\)

\(5x^2 - 90x + 84x - 4320 = 0\)

\(5x^2 - 6x - 4320 = 0\)

\(a = 5\),  \(b = -6\),  \(c = -4320\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-6)^2 - 4\cdot5\cdot(-4320) =\)

\( = 36 + 86400 = 86436 > 0\) - два действительных корня.

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\), 

\(\sqrt{86436}=\sqrt{9\cdot9604} = 3\cdot98 = 294\)

\[x_1=\frac{6 + 294}{2\cdot5}=\frac{300}{10} = 30\]

\(x_2=\frac{6 - 294}{2\cdot5}=\frac{-288}{10} = -28,8\) - не удовлетворяет условию.

\(30\) км/ч - скорость мотоциклиста.

\(30 - 18 = 12\) (км/ч\) - скорость велосипедиста.

Ответ: \(12\) км/ч.

Пояснения:

Используемые формулы:

\[t=\frac{s}{v}\]

Расстояние между пунктами равно \(60\) км. Когда мотоциклист прибыл на станцию, велосипедист был в \(21\) км от неё, значит он проехал \(60-21=39\) км.

Пусть скорость мотоциклиста равна \(x\) км/ч, тогда скорость велосипедиста равна \(x-18\) км/ч.

Время движения мотоциклиста равно \(\frac{60}{x}\).

Время движения велосипедиста к этому моменту равно \(\frac{39}{x-18}\).

Так как велосипедист выехал раньше на \(\frac54\) ч, разность их времени равна \(\frac{5}{4}\), получим уравнение:

\(\frac{39}{x-18} - \frac{60}{x} = \frac{5}{4}\).

Домножив обе части уравнения на общий знаменатель дробей и выполнив преобразования, получаем квадратное уравнение:

\(5x^2 - 6x - 4320 = 0\).

Отрицательный корень не подходит, так как скорость не может быть отрицательным числом. Значит, скорость мотоциклиста равна \(30\) км/ч. Тогда скорость велосипедиста равна \(12\) км/ч.

а) \[ 92 = 2 \cdot 46 = 2 \cdot 2 \cdot 23 = 2^2 \cdot 23 \]

\[ 30! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 23 \cdot \ldots \cdot 30 \]

\[ 2,\ 4,\ 23 \text{ входят в } 30! \]

\[ 92 \text{ делит } 30! \]

б) \[ 94 = 2 \cdot 47 \]

\[ 47 \notin \{1,2,3,\ldots,30\} \]

\[ 47 \text{ не входит в } 30! \]

\[ 94 \text{ не делит } 30! \]

в) \[ 96 = 2 \cdot 48 = 2 \cdot 2 \cdot 24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 8 = 2^5 \cdot 3 \]

\[ 30! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 30 \]

\[ 2,\ 4,\ 8,\ 3 \text{ входят в } 30! \]

\[ 2 \cdot 4 \cdot 8 \cdot 3 = 192 \]

\[ 192 : 96 = 2 \]

\[ 96 \text{ делит } 30! \]

г) \[ 98 = 2 \cdot 49 = 2 \cdot 7 \cdot 7 \]

\[ 7 \text{ входит в } 30!, \quad 14 \text{ входит в } 30! \]

\[ 14 = 2 \cdot 7 \]

\[ 7 \cdot 14 = 7 \cdot 2 \cdot 7 = 98 \]

\[ 98 \text{ делит } 30! \]

Пояснения:

В этой задаче используется основной признак делимости произведения.

Если число \(a\) можно разложить на множители, и все эти множители содержатся в произведении \(30!\), то число \(30!\) делится на \(a\).

Напомним, что

\[ 30! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot 30. \]

Это значит, что в произведение \(30!\) входят все натуральные числа от \(1\) до \(30\).

Поэтому надо разложить каждое число на простые множители и проверить, можно ли собрать эти множители из чисел от \(1\) до \(30\).

а) Число \(92\)

Разложим:

\[ 92 = 2^2 \cdot 23. \]

Число \(23\) входит в \(30!\), потому что оно меньше \(30\).

Два множителя \(2\) тоже есть в \(30!\), например их можно взять из чисел \(2\) и \(4\), потому что

\[ 4 = 2^2. \]

Значит, все множители числа \(92\) содержатся в \(30!\), следовательно,

\[ 30! \text{ делится на } 92. \]

б) Число \(94\)

Разложим:

\[ 94 = 2 \cdot 47. \]

Множитель \(2\) в \(30!\) есть, но множителя \(47\) нет, потому что число \(47\) больше \(30\) и в произведение

\[ 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 30 \]

не входит.

Значит, числа \(94\) как множителя в \(30!\) получить нельзя.

Следовательно,

\[ 30! \text{ не делится на } 94. \]

в) Число \(96\)

Разложим:

\[ 96 = 2^5 \cdot 3. \]

В числе \(30!\) множителей \(2\) очень много, потому что среди чисел от \(1\) до \(30\) есть

\[ 2,\ 4,\ 6,\ 8,\ 10,\ 12,\ 14,\ 16,\ 18,\ 20,\ 22,\ 24,\ 26,\ 28,\ 30. \]

Например, уже числа \(2\), \(4\) и \(8\) дают

\[ 2 \cdot 4 \cdot 8 = 2 \cdot 2^2 \cdot 2^3 = 2^6. \]

Это даже больше, чем нужно для \(2^5\).

Множитель \(3\) тоже входит в \(30!\).

Поэтому число \(96\) можно составить из множителей \(30!\), значит,

\[ 30! \text{ делится на } 96. \]

г) Число \(98\)

Разложим:

\[ 98 = 2 \cdot 7^2. \]

Один множитель \(7\) есть в числе \(7\), а ещё один множитель \(7\) можно взять из числа \(14\), так как

\[ 14 = 2 \cdot 7. \]

Тогда произведение

\[ 7 \cdot 14 = 7 \cdot 2 \cdot 7 = 2 \cdot 7^2 = 98. \]

И числа \(7\), и \(14\) входят в \(30!\), потому что они меньше \(30\).

Значит,

\[ 30! \text{ делится на } 98. \]

Итог:

а) \(\;30!\) делится на \(92\);

б) \(\;30!\) не делится на \(94\);

в) \(\;30!\) делится на \(96\);

г) \(\;30!\) делится на \(98\).