Упражнение 748 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(4x^4-17x^2+4=0\)

Пусть \(y=x^2\), \(y \ge 0\), тогда

\[4y^2-17y+4=0\]

\(a = 4\),  \(b = -17\),  \(c = 4\)

\(D = b^2 -4ac=\)

\[=(-17)^2-4\cdot 4\cdot 4=\]

\(=289-64=225 > 0\) - два действительных корня.

\(y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),  \(\sqrt{225}=15\)

\[y_1=\frac{17 + 15}{2\cdot4}=\frac{32}{8}=4\]

\[y_2=\frac{17 - 15}{2\cdot4}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}\]

Если \(y = 4\), то

\(x^2 = 4\)

\(x = \pm \sqrt4\)

\(x = \pm2\)

Если \(y = \frac14\). то

\(x^2 = \frac14\)

\(x = \pm \sqrt{\frac14}\)

\[x=\pm \frac{1}{2}\]

Ответ: \(x = \pm2; \,\, \pm\frac12\).

б) \(9x^4+77x^2-36=0\)

Пусть \(y=x^2\), \(y \ge 0\), тогда

\[9y^2+77y-36=0\]

\(a = 9\),  \(b = 77\),  \(c = -36\)

\(D = b^2 -4ac=\)

\[=77^2-4\cdot 9\cdot (-36)=\]

\(=5929+1296=7225 > 0\) - два действительных корня.

\(y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),  \(\sqrt{7225}=85\)

\[y_1=\frac{-77 + 85}{2\cdot 9} =\frac{8}{18} =\frac{4}{9} \]

\(y_2=\frac{-77 - 85}{2\cdot 9} =\frac{-162}{18}=-9 < 0\) - не удовлетворяет условию.

Если \(y = \frac{4}{9} \), то

\(x^2=\frac{4}{9} \)

\(x = \pm \sqrt{\frac49}\)

\(x=\pm \frac{2}{3}\)

Ответ: \(x=\pm \frac{2}{3}\).

в) \(2x^4-9x^2-5=0\)

Пусть \(y=x^2\), \(y \ge 0\), тогда

\[2y^2-9y-5=0\]

\(a = 2\),  \(b = -9\),  \(c = -5\)

\(D = b^2 -4ac=\)

\[=(-9)^2-4\cdot 2\cdot (-5)=\]

\(=81+40=121 > 0\) - два действительных корня.

\(y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),  \(\sqrt{121}=11\)

\[y_1=\frac{9 + 11}{2\cdot2} = \frac{20}{4} = 5\]

\(y_2=\frac{9 - 11}{2\cdot2} = \frac{-2}{4} =-\frac{1}{2} < 0\) - не удовлетворяет условию.

Если \(y = 5\), то

\(x^2=5 \)

\(x=\pm \sqrt{5}\)

Ответ: \(x=\pm \sqrt{5}\).

г) \(6x^4-5x^2-1=0\)

Пусть \(y=x^2\), \(y \ge 0\), тогда

\[6y^2-5y-1=0\]

\(a = 6\),  \(b = -5\),  \(c = -1\)

\(D = b^2 -4ac=\)

\[=(-5)^2-4\cdot 6\cdot (-1)=\]

\(=25+24=49 > 0\) - два действительных корня.

\(y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),  \(\sqrt{49}=7\)

\[y_1=\frac{5 + 7}{2\cdot6}=\frac{12}{12} = 1\]

\(y_2=\frac{5 - 7}{2\cdot6}=\frac{-2}{12} = -\frac{1}{6} < 0\) - не удовлетворят условию.

Если \(y = 1\), то

\(x^2=1 \)

\(x=\pm 1\)

Ответ: \(x=\pm 1\).

Пояснения:

Во всех уравнениях используется замена:

\[y=x^2.\]

Тогда каждое уравнение четвёртой степени превращается в квадратное относительно \(y\).

После нахождения корней \(y\) возвращаемся к переменной \(x\), решая уравнения вида \(x^2=a\).

Если \(a>0\), получаем два корня

\(x=\pm \sqrt{a}\). Если \(a<0\), действительных решений нет.

Квадратное уравнение:

\(ay^2+by+c=0\)

решаем через дискриминант

\(D=b^2-4ac\).

Если \(D > 0\), то уравнение имеет два действительных корня:

\(y_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}\).

а) \[ \dfrac{15!}{14!}=\dfrac{15 \cdot 14!}{14!}=15 \]

б) \[ \dfrac{8!}{10!}=\dfrac{8!}{10 \cdot 9 \cdot 8!}=\dfrac{1}{90} \]

в) \[ \dfrac{42!}{40!}=\dfrac{42 \cdot 41 \cdot 40!}{40!}=42 \cdot 41=1722 \]

г) \[ \dfrac{16!}{14! \cdot 3!}=\dfrac{16 \cdot 15 \cdot 14!}{14! \cdot 6}=\dfrac{16 \cdot 15}{6}=40 \]

д) \[ \dfrac{28!}{4! \cdot 26!}=\dfrac{28 \cdot 27 \cdot 26!}{24 \cdot 26!} \]

\[ =\dfrac{28 \cdot 27}{24} \]

\[ =\dfrac{756}{24}=31.5 \]

е) \[ \dfrac{45!}{43! \cdot 3!}=\dfrac{45 \cdot 44 \cdot 43!}{43! \cdot 6}=\dfrac{45 \cdot 44}{6}=330 \]

Пояснения:

Главное правило работы с факториалами:

\[ n! = n \cdot (n-1)! \]

Это позволяет «раскрывать» факториал до нужного множителя и сокращать одинаковые части.

а)

Так как \(15! = 15 \cdot 14!\), происходит полное сокращение, остаётся \(15\).

б)

\(10! = 10 \cdot 9 \cdot 8!\), поэтому после сокращения остаётся дробь.

в)

Раскрываем до \(40!\), сокращаем и получаем произведение двух чисел.

г)

\(3! = 6\), после сокращения остаётся простое вычисление.

д)

Здесь важно раскрыть \(28!\) до \(26!\):

\[ 28! = 28 \cdot 27 \cdot 26! \]

Затем сокращается \(26!\), и остаётся дробь с \(4! = 24\).

е)

Аналогично: раскрываем до \(43!\), сокращаем и делим на \(3! = 6\).

Ответ:

а) \(15\)

б) \(\dfrac{1}{90}\)

в) \(1722\)

г) \(40\)

д) \(31{,}5\)

е) \(330\)