Упражнение 744 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(x > 0\)

Составим уравнение:

\(\frac{150}{x}-\frac{150}{x+5}=1\) \(/\times x(x+5)\)

\(150(x + 5) - 150x = x(x+5)\)

\(\cancel{150x} + 750 - \cancel{150x} = x^2 + 5x\)

\(x^2 + 5x - 750 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = 5\),  \(c = -750\)

\(D=b^2 - 4ac=\)

\(=5^2-4\cdot 1\cdot (-750)=\)

\(=25+3000=3025 > 0\) - два действительных корня.

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),  \(\sqrt{3025}=55\)

\[x_1=\frac{-5 + 55}{2\cdot1} =\frac{50}{2} = 25 \]

\(x_2=\frac{-5 - 55}{2\cdot1} =\frac{-60}{2} = -30 \) - не удовлетворяет условию.

Ответ: обычно сотрудник набирает \(25\) страниц в день.

Пояснения:

Чтобы найти время работы, нужно общее количество страниц разделить на количество страниц, набираемых за один день.

Пусть сотрудник обычно набирает \(x\) страниц в день. Тогда время выполнения всей работы равно \(\frac{150}{x}\) дней.

Если он будет набирать по \(x+5\) страниц в день, то время составит \(\frac{150}{x+5}\) дней.

По условию он закончит работу на \(1\) день раньше, получим уравнение:

\[\frac{150}{x}-\frac{150}{x+5}=1.\]

Домножив обе части уравнения на общий знаменатель дробей и выполнив преобразования, получаем квадратное уравнение:

\(x^2+5x-750=0\).

Отрицательный корень не подходит, так как количество страниц не может быть отрицательным число . Следовательно, обычно сотрудник набирает \(25\) страниц в день.

Рассматриваем \(5\) сборников стихов как один блок.

Тогда на полке нужно расставить:

\[ 1 + 7 = 8 \]

объектов.

Их можно расставить:

\[ 8! = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \]

Сами \(5\) сборников внутри блока можно переставить:

\[ 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \]

Тогда всего способов:

\[ 8! \cdot 5! = 40320 \cdot 120 = 4838400 \]

Пояснения:

В задаче используются перестановки и приём объединения нескольких предметов в один блок.

Формула числа перестановок \(n\) различных элементов:

\[ P_n = n! \]

где

\[ n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n \]

По условию всего на полке \(12\) книг.

Из них \(5\) книг — сборники стихов, и они должны стоять рядом.

Когда несколько предметов должны стоять рядом, удобно считать их одним общим блоком.

Тогда:

\[ 5 \text{ сборников } \rightarrow 1 \text{ блок} \]

Остальные книги:

\[ 12 - 5 = 7 \]

Значит, всего получаем:

\[ 1 + 7 = 8 \]

объектов для расстановки на полке.

Эти \(8\) объектов можно расположить в любом порядке:

\[ 8! \]

Но внутри блока сборники тоже могут быть расположены по-разному, так как сказано: «в произвольном порядке».

Это означает, что \(5\) сборников можно переставить между собой:

\[ 5! \]

По правилу умножения общее число способов равно:

\[ 8! \cdot 5! \]

Вычислим:

\[ 8! = 40320 \]

\[ 5! = 120 \]

\[ 40320 \cdot 120 = 4838400 \]

Следовательно, расставить книги можно:

\[ 4838400 \]

способами.