Упражнение 747 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\[30\text{ мин}=\frac12\text{ ч}\]

\(120-45=75\) (км) - проехала легковая машина до встречи.

Составим уравнение:

\(\frac{75}{x+5}-\frac{45}{x}=\frac12\) \(/\times 2x(x+5)\)

\(150x -90(x+5) = x(x+5)\)

\(150x - 90x - 450 = x^2 + 5x\)

\(60x - 450 = x^2 + 5x\)

\(x^2 + 5x - 60x + 450 = 0\)

\[x^2-55x+450=0\]

\(a = 1\),  \(b = -55\),  \(c = 450\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\[=(-55)^2-4\cdot 1\cdot 450=\]

\(=3025-1800=1225 > 0\) - два действительных корня.

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),   \(\sqrt{1225}=35\)

\[x_1=\frac{55 + 35}{2\cdot1}=\frac{90}{2} = 45\]

\[x_2=\frac{55 - 35}{2\cdot1}=\frac{20}{2} = 10\]

Ответ: \(45\) км/ч или \(10\) км/ч.

Пояснения:

Формулы движения:

\[t=\frac{s}{v}\]

\[30\text{ мин}=\frac12\text{ ч}\]

Дорога между селом и городом равна \(120\) км. Встретились в \(45\) км от города, значит грузовик проехал \(45\) км, а легковая автомашина:

\(120-45=75\) км.

Пусть скорость грузовика \(x\) км/ч. Тогда скорость легковой автомашины на \(5\) км/ч больше и равна \(x+5\) км/ч.

Время пути грузовика до встречи:

\[t_{\text{гр}}=\frac{45}{x}.\]

Время пути легковой до встречи:

\[t_{\text{лег}}=\frac{75}{x+5}.\]

Легковая выехала на \(\frac12\) ч раньше, значит её время до встречи больше на \(\frac12\) ч:

\[\frac{75}{x+5}-\frac{45}{x}=\frac12.\]

Домножив обе части уравнения на общий знаменатель дробей и выполнив преобразования, получаем квадратное уравнение:

\[x^2-55x+450=0.\]

Решая полученное уравнение, получаем два корня \(45\) и \(10\). Следовательно, скорость грузовика \(10\) км/ч или \(45\) км/ч.

а) \[ 168 = 2^3 \cdot 3 \cdot 7 \]

\[ 14! = 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 14 \]

\[ 2,\ 4,\ 8,\ 3,\ 7 \text{ входят в } 14! \]

\[ 168 \text{ делит } 14! \]

б) \[ 136 = 2^3 \cdot 17 \]

\[ 17 \notin \{1,\ldots,14\} \]

\[ 136 \text{ не делит } 14! \]

в) \[ 147 = 3 \cdot 49 = 3 \cdot 7^2 \]

\[ 7,\ 14 \text{ входят в } 14! \]

\[ 14 = 2 \cdot 7 \]

\[ 7 \cdot 14 = 2 \cdot 7^2 \]

\[ 147 \text{ делит } 14! \]

г) \[ 132 = 2^2 \cdot 3 \cdot 11 \]

\[ 2,\ 4,\ 3,\ 11 \text{ входят в } 14! \]

\[ 132 \text{ делит } 14! \]

Пояснения:

Число \(14!\) — это произведение всех натуральных чисел от \(1\) до \(14\):

\[ 14! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 14 \]

Чтобы проверить делимость, нужно разложить число на простые множители и проверить, входят ли они (с нужной кратностью) в произведение \(14!\).

а) \(168\)

\[ 168 = 2^3 \cdot 3 \cdot 7 \]

В \(14!\) есть много двоек (например, \(2, 4=2^2, 8=2^3\)), есть \(3\) и есть \(7\).

Значит, \(168\) делит \(14!\).

б) \(136\)

\[ 136 = 2^3 \cdot 17 \]

Числа \(17\) в \(14!\) нет, так как \(17 > 14\).

Следовательно, \(136\) не делит \(14!\).

в) \(147\)

\[ 147 = 3 \cdot 7^2 \]

В \(14!\) есть \(3\).

Также есть два множителя \(7\): один из числа \(7\), второй из числа \(14 = 2 \cdot 7\).

Значит, \(7^2\) есть в произведении, и \(147\) делит \(14!\).

г) \(132\)

\[ 132 = 2^2 \cdot 3 \cdot 11 \]

Все множители входят в \(14!\):

\[ 2,\ 4,\ 3,\ 11 \]

Значит, \(132\) делит \(14!\).

Ответ:

а) делится;

б) не делится;

в) делится;

г) делится.