Упражнение 749 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(2(5x-1)^2+35x-11=0\)

\(2(5x-1)^2+35x-7 - 4=0\)

\(2(5x-1)^2+7(5x-1) - 4=0\)

Пусть \(t=5x-1\).

\[2t^2+7t-4=0\]

\[2t^2+7t-4=0\]

\(a = 2\),  \(b = 7\),  \(c = -4\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\[=7^2-4\cdot 2\cdot (-4)=\]

\(=49+32=81 > 0\) - два действительных корня.

\(t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),  \(\sqrt{81}=9\)

\[t_1=\frac{-7 + 9}{2\cdot2} =\frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0,5\]

\[t_2=\frac{-7 - 9}{2\cdot2} =\frac{-16}{4} = -4\]

1) Если \(t = 0,5\), то

\(5x - 1 = 0,5\)

\(5x = 0,5 + 1\)

\(5x = 1,5\)

\(x = \frac{1,5}{5}\)

\(x =0,3\)

2) Если \(t = -4\), то

\(5x - 1 = -4\)

\(5x = -4 + 1\)

\(5x = -3\)

\(x = \frac{-3}{5}\)

\(x = -0,6\)

Ответ: \(x = -0,6;  \,  0,3\).

б) \((x^2+x-3)^2+12x^2+12x-9=0\)

\((x^2+x-3)^2+12x^2+12x-36 + 27=0\)

\((x^2+x-3)^2+12(x^2+x-3) + 27=0\)

Пусть \(y=x^2+x-3\).

\[y^2+12y+27=0\]

\(a = 1\),  \(b = 12\),  \(c = 27\)

\(D = b^2 - 4ac=\)

\[=12^2-4\cdot 1\cdot 27=\]

\(=144-108=36 > 0\) - два действительных корня.

\(y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),  \(\sqrt{36}=6\)

\[y_1=\frac{-12 + 6}{2\cdot1}=\frac{-6}{2}=-3\]

\[y_1=\frac{-12 - 6}{2\cdot1}=\frac{-18}{2}=-9\]

Если \(y=-3\), то

\(x^2+x-3=-3\)

\(x^2+x-3+3=0\)

\(x^2+x=0\)

\(x(x+1)=0\)

\(x=0\)  или  \(x+1=0\)

                     \(x = -1\)

Если \(y=-9\), то

\(x^2+x-3=-9\)

\(x^2+x-3+9 = 0\)

\(x^2+x+6=0\)

\(a = 1\),  \(b = 1\),  \(c = 6\)

\(D=b^2 - 4ac=\)

\(=1^2 - 4\cdot1\cdot6=\)

\(=1-24=-23 < 0\) - нет корней.

Ответ: \(x = -1; \, 0\).

Пояснения:

Метод новой переменной применяется, когда в уравнении повторяется одинаковое выражение.

Квадратное уравнение:

\(ax^2+bx+c=0\)

решаем через дискриминант

\(D=b^2-4ac\).

Если \(D > 0\), то уравнение имеет два действительных корня:

\(x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}\)

Если \(D < 0\), то уравнение не имеет корней.

а) Повторяется выражение \(5x-1\). Обозначаем его через \(t\). Тогда всё уравнение превращается в квадратное относительно \(t\).

После нахождения \(t\) возвращаемся к переменной \(x\).

б) Повторяется выражение \(x^2+x-3\). Вводим новую переменную \(y\).

Получаем квадратное уравнение относительно \(y\). Затем возвращаемся к \(x\). Во втором случае одно из уравнений имеет отрицательный дискриминант, поэтому действительных корней нет.

а) \[ \dfrac{12!}{9!}=\dfrac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9!}{9!}=12 \cdot 11 \cdot 10=1320 \]

б) \[ \dfrac{14!}{12!}=\dfrac{14 \cdot 13 \cdot 12!}{12!}=14 \cdot 13=182 \]

в) \[ \dfrac{30!}{29! \cdot 2!}=\dfrac{30 \cdot 29!}{29! \cdot 2}=\dfrac{30}{2}=15 \]

г) \[ \dfrac{36!}{2! \cdot 34!}=\dfrac{36 \cdot 35 \cdot 34!}{2 \cdot 34!}=\dfrac{36 \cdot 35}{2}=18 \cdot 35=630 \]

д) \[ \dfrac{15!}{2! \cdot 16!}=\dfrac{15!}{2 \cdot 16 \cdot 15!}=\dfrac{1}{32} \]

е) \[ \dfrac{25!}{23! \cdot 5!}=\dfrac{25 \cdot 24 \cdot 23!}{23! \cdot 120}=\dfrac{25 \cdot 24}{120}=5 \]

Пояснения:

Основное свойство факториала:

\[ n! = n \cdot (n-1)! \]

Это позволяет раскрывать факториалы до одинаковых множителей и сокращать их.

а)

Раскрываем \(12!\) до \(9!\) и сокращаем.

б)

Аналогично: \(14! = 14 \cdot 13 \cdot 12!\).

в)

\(2! = 2\), после сокращения остаётся деление.

г)

Раскрываем \(36!\) до \(34!\), сокращаем и делим на \(2\).

д)

\(16! = 16 \cdot 15!\), происходит почти полное сокращение.

е)

\(5! = 120\), далее обычное упрощение.

Ответ:

а) \(1320\)

б) \(182\)

в) \(15\)

г) \(630\)

д) \(\dfrac{1}{32}\)

е) \(5\)