Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№558 учебника 2023-2026 (стр. 159):
Дана арифметическая прогрессия \((a_n)\), в которой \(a_1=32\) и \(d=-1{,}5\). Является ли членом этой прогрессии число:
а) \(0\);
б) \(-28\)?
№558 учебника 2014-2022 (стр. 143):
Укажите какие-нибудь значения \(k\) и \(b\), при которых система неравенств
\(\begin{cases} y\le 2x+3,\\ y\ge kx+b \end{cases}\)
задаёт на координатной плоскости:
а) полосу;
б) угол.
№558 учебника 2023-2026 (стр. 159):
Вспомните:
№558 учебника 2014-2022 (стр. 143):
Вспомните:
№558 учебника 2023-2026 (стр. 159):
\((a_n)\) - арифметическая прогрессия.
\(a_1=32\) и \(d=-1{,}5\)
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=32+(n-1)(-1{,}5)\)
\(a_n=32-1{,}5n+1,5\)
\(a_n=33,5-1{,}5n\)
а) \(a_n = 0\)
\(33,5-1{,}5n=0\)
\(-1{,}5n=-33,5\)
\(n = \frac{33,5}{1,5}\)
\(n = \frac{335}{15}\)
\(n=\dfrac{67}{3}\)
\(n = 22\dfrac13\notin N\)
Ответ: число \(0\) не является членом прогрессии.
б) \(a_n = -28\)
\(33,5-1{,}5n=-28\)
\(-1{,}5n=-28 - 33,5\)
\(-1,5n =-61,5\)
\(n = \frac{61,5}{1,5}\)
\(n = \frac{615}{15}\)
\(n=41 \in N\)
Ответ: число \(-28\) является членом прогрессии.
Пояснения:
Любой член этой прогрессии можно найти по формуле:
\[a_n=a_1+(n-1)d.\]
Чтобы проверить, принадлежит ли число данной прогрессии, его приравнивают к выражению для \(a_n\) и решают полученное уравнение относительно \(n\).
Если найденное значение \(n\) — натуральное число, то данное число является членом прогрессии. Если \(n\) не является натуральным числом, то данное число не входит в прогрессию.
№558 учебника 2014-2022 (стр. 143):
\(\begin{cases} y\le 2x+3,\\ y\ge kx+b \end{cases}\)
а) Полоса при \(k=2,\ b=-2\).
\(\begin{cases} y\le 2x+3,\\ y\ge 2x-2 \end{cases}\)
Так как \(y=2x+3\) и \(y=2x+1\) - параллельные прямые.
б) Угол при \(k=1,\ b=2\).
\(\begin{cases} y\le 2x+3,\\ y\ge x + 2 \end{cases}\)
Так как \(y=2x+3\) и \(y=x + 2\) - пересекающиеся прямые.
Пояснения:
Система \(\begin{cases}y\le 2x+3\\ y\ge kx+b\end{cases}\) задаёт пересечение двух полуплоскостей: ниже (или на) прямой \(y=2x+3\) и выше (или на) прямой \(y=kx+b\).
а) Чтобы получилась полоса, граничные прямые должны быть параллельны, то есть иметь одинаковые угловые коэффициенты. У прямой \(y=2x+3\) угловой коэффициент равен 2, поэтому берём \(k=2\). Чтобы полоса была ненулевой ширины, нужно взять \(b\neq 3\). Например, \(b=-2\). Тогда получается множество точек между двумя параллельными прямыми, включая сами прямые.
б) Чтобы получился угол, граничные прямые должны пересекаться, то есть иметь разные угловые коэффициенты. Для этого достаточно взять \(k\neq 2\). Например, \(k=1\). Пусть \(b=2\), тогда вторая граница — прямая \(y=x + 2\), которая пересекает \(y=2x+3\). Пересечение полуплоскостей даёт область, ограниченную двумя пересекающимися прямыми, то есть угол.
Вернуться к содержанию учебника