Упражнение 557 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Арифметическая прогрессия:

\(2;\ 9;\ \ldots\)

\(a_1=2,\ a_2=9\)

\(d=9-2=7\)

\(a_n=a_1+(n-1)d\)

\(a_n =2 + (n - 1)\cdot7\)

\(a_n = 2 + 7n - 7\)

\(a_n=7n-5\)

а) \(a_n = 156\)

\(7n-5=156\)

\(7n=156 + 5\)

\(7n=161\)

\(n = \frac{161}{7}\)

\(n=23 \in N\)

Ответ: число \(156\) является членом прогрессии.

б) \(a_n = 295\)

\(7n-5=295\)

\(7n = 295 + 5\)

\(7n=300\)

\(n=\dfrac{300}{7}\)

\(n = 42\dfrac{6}{7} \notin N\)

Ответ: число \(295\) не является членом прогрессии.

Пояснения:

Арифметическая прогрессия \(2; 9; \ldots\) имеет первый член \(a_1=2\) и разность \(d=7\).

Любой член этой прогрессии можно найти по формуле:

\[a_n=a_1+(n-1)d.\]

Чтобы проверить, принадлежит ли число данной прогрессии, его приравнивают к выражению для \(a_n\) и решают полученное уравнение относительно \(n\).

Если найденное значение \(n\) — натуральное число, то данное число является членом прогрессии. Если \(n\) не является натуральным числом, то данное число не входит в прогрессию.

а) \(\begin{cases}x^2+y^2\le 25,\\ xy\le 0\end{cases}\)

1) \(x^2+y^2\le 25\)

\(x^2+y^2 = 25\) - окружность с центром \((0;0)\) и радиусом \(5\).

2) \(xy\le 0\)

\(xy = 0\)

\(x=0\)  или  \(y=0\)

\(A(-6; 1)\) - является решением неравенства \(xy\le 0\).

\(-6\cdot1 \le 0\)

\(-6 \le 0\) - верно.

\(B(6; 1)\) - не является решением неравенства \(xy\le 0\).

\(6\cdot1 \le 0\)

\(6 \le 0\) - неверно.

\(C(6; -1)\) - является решением неравенства \(xy\le 0\).

\(6\cdot(-1) \le 0\)

\(-6 \le 0\) - верно.

\(D(-6; -1)\) - не является решением неравенства \(xy\le 0\).

\(-6\cdot(-1) \le 0\)

\(6 \le 0\) - неверно.

б) \(\begin{cases}x^2+y^2\ge 9,\\ xy\ge 0.\end{cases}\)

1) \(x^2+y^2\ge 9\)

\(x^2+y^2=  9\) - окружность с центром \((0;0)\) и радиусом \(3\).

2) \(xy\ge 0\)

\(xy = 0\)

\(x=0\)  или  \(y=0\)

\(A(-4; 1)\) - не является решением неравенства \(xy\ge 0\).

\(-4\cdot1 \ge 0\)

\(-4 \ge 0\) - неверно.

\(B(4; 1)\) - является решением неравенства \(xy\ge 0\).

\(4\cdot1 \ge 0\)

\(4 \ge 0\) - верно.

\(C(4; -1)\) - не является решением неравенства \(xy\ge 0\).

\(4\cdot(-1) \ge 0\)

\(-4 \ge 0\) - неверно.

\(D(-4; -1)\) - является решением неравенства \(xy\ge 0\).

\(-4\cdot(-1) \ge 0\)

\(4 \ge 0\) - верно.

Пояснения:

Сначала разбираем каждое неравенство отдельно, а затем берём их пересечение (общие точки), так как это система.

Графиком уравнения \(x^2+y^2 = r^2\) является окружность c центром \((0;0)\) и радиусом \(r\). Если в неравенстве использован знак \(\le\), то штрихуем область внутри окружности, если в неравенстве использован знак \(\ge\), то штрихуем область за пределами круга.

Произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, тогда \(xy = 0\), если \(x = 0\) или \(y = 0\), то есть графиком уравнения \(xy = 0\) является пара прямых:

\(x = 0\) - ось \(y\),

\(y = 0\) - ось \(x\).

Чтобы понять, какую часть плоскости нужно заштриховать, выбирают точку и проверяют, удовлетворяет ли она неравенству. Если да — закрашивают часть плоскости, где лежит эта точка, если нет — не закрашивают.

Построение границы: если неравенство нестрогое (\(\ge\) или \(\le\)), то линия, соответствующая графику уравнения, входит в решение (рисуем график сплошной линией).