Упражнение 524 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(y(x^2+y^2-1)\ge 0\)

1) Если \(y\ge 0\), то

\(x^2+y^2-1\ge 0\)

\(x^2+y^2\ge 1\)

\(x^2+y^2 = 1\) - окружность с центром \((0; 0)\) и радиусом \(1\).

\(y = 0\) - ось \(x\).

2) Если \(y <0\), то 

\(x^2+y^2-1\le 0\)

\(x^2+y^2 \le 1\)

\(x^2+y^2 = 1\) - окружность с центром \((0; 0)\) и радиусом \(1\).

б) \(x(x^2-y)\le 0\)

1) Если \(x\ge 0\), то

\(x^2-y\le 0\)

\(-y \le - x^2\)  \(/\times (-1)\)

\(y \ge x^2\)

\(y = x^2\) - парабола, ветви вверх.

2) Если \(x < 0\), то

\(x^2-y\ge 0\)

\(-y\ge -x^2\) \(/\times (-1)\)

\( y\le x^2\)

\(x = 0\) - ось \(y\).

Пояснения:

Используем правило для произведения:

• \(ab\ge 0\) только тогда, когда \(a\ge 0 \text{ и } b\ge 0\) или \(a\le 0 \text{ и } b\le 0\).

• \(ab\le 0\) только тогда, когда \(a\ge 0 \text{ и } b\le 0\) или \(a\le 0 \text{ и } b\ge 0\).

а) Здесь \(a=y\), \(b=x^2+y^2-1\). Второй множитель обращается в ноль на окружности \(x^2+y^2=1\). Он положителен вне окружности и отрицателен внутри. Поэтому:

— при \(y\ge 0\) нужно брать те точки, где \(x^2+y^2-1\ge 0\), то есть верхнюю полуплоскость вне единичной окружности;

— при \(y < 0\) нужно брать те точки, где \(x^2+y^2-1\le 0\), то есть нижнюю полуплоскость внутри единичной окружности.

Получаем множество решений:

вне (или на) окружности \(x^2+y^2=1\) при \(y\ge 0\),

и внутри (или на) окружности \(x^2+y^2=1\) при \(y\le 0\),

а также все точки прямой \(y=0\) и всей окружности \(x^2+y^2=1\).

б) Здесь \(a=x\), \(b=x^2-y\). Второй множитель равен нулю на параболе \(y=x^2\). Выражение \(x^2-y\le 0\) равносильно \(y\ge x^2\), а \(x^2-y\ge 0\) равносильно \(y\le x^2\). Поэтому:

— при \(x\ge 0\) нужны точки, где \(y\ge x^2\) (правая половина плоскости над параболой);

— при \(x < 0\) нужны точки, где \(y\le x^2\) (левая половина плоскости под параболой).

Получаем множество решений:

при \(x\ge 0\) — точки на или выше параболы \(y=x^2\),

при \(x\le 0\) — точки на или ниже параболы \(y=x^2\),

а также все точки прямой \(x=0\) и всей параболы \(y=x^2\).

Построение границы: если неравенство нестрогое (\(\ge\) или \(\le\)), то линия, соответствующая графику уравнения, входит в решение (рисуем график сплошной линией).

а) \(\begin{cases} x^2 - y + 11 = 0,\\ y + x^2 = 4 \end{cases}\)

\(\begin{cases} y = x^2 + 11,\\ y =- x^2 + 4 \end{cases}\)

\(y = x^2 + 11\) - парабола, полученная из параболы \(y = x^2\), с вершиной в точке \((0; 11)\), ветви вверх.

\(y = - x^2 + 4\) - парабола, полученная из параболы \(y = -x^2\), с вершиной в точке \((0; 4)\), ветви вниз.

Ответ: решений нет.

б) \(\begin{cases} (x + 3)^2 + (y + 4)^2 = 1,\\ (x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 4 \end{cases}\)

\((x + 3)^2 + (y + 4)^2 = 1\) - окружность с центром в точке \((-3; -4)\) и радиусом \(r = 1\).

\((x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 4\) - окружность с центром в точке \((2; 1)\) и радиусом \(r = 2\).

Ответ: решений нет

в) \(\begin{cases} y = |x|,\\ \dfrac{1}{2}x^3 - y = 0 \end{cases}\)

\(\begin{cases} y = |x|,\\ y = \dfrac{1}{2}x^3 \end{cases}\)

\(y = |x|\),   \(y \ge 0\).

\(y = \dfrac{1}{2}x^3\) - кубическая парабола, I и III координатные четверти.

Ответ: два решения.

Пояснения:

Для решения систем уравнений графическим способом строят графики каждого уравнения и находят точки их пересечения. Количество точек пересечения графиков уравнений соответствует количеству решений системы.