Упражнение 454 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(x^2 + y^2 - 6x - 4y + 13 \le 0\)

\(x^2 - 6x + y^2 - 4y + 13 \le 0\)

\(x^2 - 6x +9+ y^2 - 4y + 4 \le 0\)

\((x - 3)^2 + (y - 2)^2 + 0 \le 0\)

\((x - 3)^2 + (y - 2)^2 \le 0\)

Данным неравенством задается точка \((3; 2)\)

б) \(x^2 - 4x - y + 5 \ge 0\)

\(x^2 - 4x + 4 - y +1 \ge 0\)

\((x - 2)^2 - y + 1 \ge 0\)

\(-y \ge - (x - 2)^2 - 1\)   \(|\times(-1)\)

\(y \le (x - 2)^2 + 1\)

\(y = (x - 2)^2 + 1\)

Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке \((2; 1).\)

Неравенство \(x^2 - 4x - y + 5 \ge 0\) задает множество точек параболы \(y = (x - 2)^2 + 1\) и точек под ней.

Пояснения:

Квадрат разности двух выражений:

\( (a - b)^2=a^2 - 2ab + b^2.\)

Пояснение к пункту а)

Группируем слагаемые по \(x\) и \(y\):

\[x^2 - 6x + y^2 - 4y + 13 \le 0.\]

Выделим полный квадрат по \(x\):

\[x^2 - 6x = x^2 - 2\cdot3x,\quad добавляем\ 3^2 = 9,\] поэтому получаем \((x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9.\)

По \(y\):

\[y^2 - 4y = y^2 - 2\cdot2y,\quad добавляем\ 2^2 = 4,\] поэтому \((y - 2)^2 = y^2 - 4y + 4.\)

То есть слагаемое \(13\) раскладываем на слагаемые \(9\) и \(4\):

\(x^2 - 6x + 9 + y^2 - 4y + 4 \le 0.\)

\((x - 3)^2 + (y - 2)^2 \le 0\)

Сумма квадратов неотрицательна: \[ (x - 3)^2 \ge 0,\quad (y - 2)^2 \ge 0, \] и их сумма может быть равна нулю только тогда, когда оба квадрата равны нулю.

\[ (x - 3)^2 = 0 \Rightarrow x = 3, \] \[ (y - 2)^2 = 0 \Rightarrow y = 2. \]

Следовательно, неравенство выполняется только для одной точки \((3; 2)\).

Множество решений пункта а) — это единственная точка \((3; 2)\) на плоскости.

Пояснение к пункту б)

Имеем неравенство:

\[x^2 - 4x - y + 5 \ge 0.\]

Выделим квадрат по \(x\):

\(x^2 - 4x = x^2 - 2\cdot2x,\) добавляем  \(2^2 = 4,\) получаем \(x^2 - 4x + 4=(x - 2)^2.\)

Тогда:

\(x^2 - 4x - y + 5 = (x - 2)^2 - y + 1=\)

\(= (x - 2)^2 - y + 1.\)

Запишем неравенство:

\[(x - 2)^2 - y + 1 \ge 0.\]

Перенесём вправо \((x - 2)^2\) и \(1\):

\[-y \ge - (x - 2)^2 - 1.\]

Умножим обе части на \(-1\), меняя знак неравенства:

\[y \le (x - 2)^2 + 1.\]

Уравнение

\[y = (x - 2)^2 + 1\]

задаёт параболу с вершиной в точке \((2; 1)\), ветви направлены вверх.

Неравенство \(y \le (x - 2)^2 + 1\) означает, что нас интересуют все точки, которые лежат на этой параболе и ниже её (по вертикали). Таким образом, множество решений пункта б) — это вся область на координатной плоскости, расположенная не выше параболы \(y = (x - 2)^2 + 1\), включая саму параболу.

а) \( -x^2-2x+168>0 \)

\( -x^2-2x+168=0 \)    \(/\times(-1)\)

\(x^2+2x-168=0 \)

\(a = 1\),  \(b = 2\),  \(c = -168\)

\(D=b^2 - 4ac=\)

\(=2^2-4\cdot1\cdot(-168)=\)

\(=4+672=676\),   \(\sqrt{D}=26 \)

\(x=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\( x_1=\frac{-2+26}{2\cdot1}=\frac{24}{2} = 12\)

\( x_2=\frac{-2-26}{2\cdot1}=\frac{-28}{2} = -14\)

\( -x^2-2x+168=-(x-12)(x+14) \)

\(-(x-12)(x+14)>0 \)

1) \( \begin{cases} x-12>0, \\ x+14<0\end{cases} \)

 \( \begin{cases} x>12, \\ x<-14\end{cases} \) - решений нет.

2) \( \begin{cases} x-12<0, \\ x+14>0\end{cases} \)

 \( \begin{cases} x<12, \\ x>-14\end{cases} \)

\(-14 < x < 12\)

Ответ: при \(-14 < x < 12\).

б) \( 15x^2+x-2<0 \)

\( 15x^2+x-2=0 \)

\(a = 15\),  \(b = 1\),  \(c = -2\)

\(D=b^2 - 4ac=1^2-4\cdot15\cdot(-2)=\)

\(=1+120=121\),   \( \sqrt{D}=11 \)

\(x=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\( x_1=\frac{-1+11}{2\cdot15}=\frac{10}{30} = \frac13\)

\( x_2=\frac{-1-11}{2\cdot15}=\frac{-12}{30} = -\frac25\)

\( 15x^2+x-2=15(x-\frac13)(x+\frac25)\)

\(15(x-\frac13)(x+\frac25)<0\)

1) \( \begin{cases} x-\frac13>0, \\ x+\frac25<0\end{cases} \)

 \( \begin{cases} x>\frac13, \\ x<-\frac25\end{cases} \) - решений нет.

2) \( \begin{cases} x-\frac13<0, \\ x+\frac25>0\end{cases} \)

\( \begin{cases} x<\frac13, \\ x>-\frac25\end{cases} \)

\(-\frac25 < x < \frac13\)

Ответ: при \(-\frac25 < x < \frac13\).

в) \(\dfrac{x+14}{3-2x}<0\)

ОДЗ: \(3-2x \neq 0\)

          \(2x\neq3\)

          \(x \neq \frac32\)

          \(x \neq1,5\)

1) \( \begin{cases} x+14>0, \\ 3-2x<0\end{cases} \)

\( \begin{cases} x>-14, \\ 2x>3\end{cases} \)

\( \begin{cases} x>-14, \\ x>\frac32 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x>-14, \\ x>1,5 \end{cases} \)

\(x > 1,5\)

2) \( \begin{cases} x+14<0, \\ 3-2x>0\end{cases} \)

\( \begin{cases} x<-14, \\ 2x<3\end{cases} \)

\( \begin{cases} x<-14, \\ x<\frac32\end{cases} \)

\( \begin{cases} x<-14, \\ x<1,5\end{cases} \)

\(x<-14\)

Ответ: \(x<-14\) или \(x>1,5\).

г) \(\dfrac{6-5x}{x+25}>0\)

ОДЗ: \(x + 25 \neq 0\)

          \(x\neq-25\)

1) \( \begin{cases} 6-5x>0, \\ x+25>0\end{cases} \)

\( \begin{cases} 5x<6, \\ x>-25\end{cases} \)

\( \begin{cases} x<\frac65, \\ x>-25\end{cases} \)

\( \begin{cases} x<1,2, \\ x>-25\end{cases} \)

\(-25 < x < 1,2\)

2) \( \begin{cases} 6-5x<0, \\ x+25<0\end{cases} \)

\( \begin{cases} 5x>6, \\ x< -25\end{cases} \)

\( \begin{cases} x>\frac65, \\ x< -25\end{cases} \)

\( \begin{cases} x>1,2, \\ x< -25\end{cases} \) - решений нет.

Ответ: при \(-25 < x < 1,2\).

Пояснения:

В пунктах а) и б) квадратный трехчлен разложили на множители согласно формуле:

\(ax^2 +bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)\),

где \(x_1\) и \(x_2\) корни трехчлена

\(ax^2 +bx + c\).

Затем учли то, что произведение отрицательно, если в нем нечетное количество отрицательных множителей, и произведение положительно, если в нем четное количество отрицательных множителей.

В пунктах в) и г) сначала определили значения, при которых дробь не имеет смысла (ОДЗ). Затем учли то, что значение дроби отрицательно, если ее числитель и знаменатель имеют разные знаки, и значение дроби положительно, если ее числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки.