Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№456 учебника 2023-2026 (стр. 134):
Опишите неравенством множество точек координатной плоскости, расположенных:
а) выше параболы \(y = x^2 - 9\);
б) ниже параболы \(y = (x + 2)^2\).
№456 учебника 2014-2022 (стр. 122):
Одно число на 7 больше другого, а их произведение равно \(-12\). Найдите эти числа.
№456 учебника 2023-2026 (стр. 134):
Вспомните:
№456 учебника 2014-2022 (стр. 122):
Вспомните:
№456 учебника 2023-2026 (стр. 134):
а) \(y > x^2 - 9\).
б) \(y < (x + 2)^2\).
Пояснения:
Правило связи положения точки относительно графика функции и неравенства такое:
Пусть задан график функции \(y = f(x)\). Тогда:
\(y > f(x)\) — точки выше графика,
\(y = f(x)\) — точки на графике,
\(y < f(x)\) — точки ниже графика.
Пояснение к пункту а)
Парабола задана уравнением \(y = x^2 - 9\). Точки, расположенные выше её, должны иметь координату \(y\) больше, чем значение \(x^2 - 9\) при том же \(x\). Поэтому множество таких точек описывается неравенством
\[y > x^2 - 9.\]
Знак строгий, так как речь идёт именно о точках выше параболы, а не на ней.
Пояснение к пункту б)
Парабола задана уравнением \(y = (x + 2)^2\). Точки, расположенные ниже этой параболы, имеют координату \(y\) меньше значения \((x + 2)^2\) при том же \(x\). Поэтому множество описывается неравенством
\[y < (x + 2)^2.\]
Опять используется строгий знак, так как точки на самой параболе не входят в описание «ниже параболы».
№456 учебника 2014-2022 (стр. 122):
Пусть \(x\) - первое число, а \(y\) - второе.
Составим систему уравнений:
\[ \begin{cases} x - y = 7,\\ xy = -12 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} x = y + 7,\\ (y + 7)y = -12 \end{cases} \]
\[ (y + 7)y = -12 \]
\[ y^2 + 7y = -12 \]
\[ y^2 + 7y + 12 = 0 \]
\(D = 7^2 - 4\cdot1\cdot12 =\)
\(=49 - 48 = 1 > 0 \) - 2 корня.
\(\sqrt 1 = 1\).
\(x_1 = \frac{-7 + 1}{2\cdot1} = \frac{-6}{2} = -3\).
\(x_1 = \frac{-7 - 1}{2\cdot1} = \frac{-8}{2} = -4\).
1) Если \(y = -3\), то
\[ x = -3 + 7 = 4. \]
2) Если \(y = -4\), то
\[ x = -4 + 7 = 3. \]
Ответ: \(4\) и \(-3\) или \(3\) и \(-4\).
Пояснения:
Используемые правила и приёмы:
1. Текстовая задача переводится в систему уравнений с двумя переменными.
2. Связь «одно число на 7 больше другого» записывается как разность чисел.
3. Систему удобно решать методом подстановки. Подстановка приводит к квадратному уравнению.
4. Квадратное уравнение
\(ax^2 + bx + c = 0\) решается через дискриминант \(D = b^2 - 4ac\). Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:
\(x_{1,2} = \frac{-b \pm\sqrt D}{2a}\).
Подробное объяснение:
Мы ввели две переменные, так как неизвестны оба числа. Первое уравнение отражает разность чисел, второе — их произведение.
После подстановки система свелась к квадратному уравнению, которое имеет два решения. Каждому решению соответствует своя пара чисел, и обе пары удовлетворяют условиям задачи.
Вернуться к содержанию учебника