Вернуться к содержанию учебника
Задайте неравенством с двумя переменными:
а) круг с центром в точке \((2;\,0)\) и радиусом, равным \(3\);
б) множество точек, расположенных вне круга с центром в точке \((0;\,4)\) и радиусом, равным \(2\).
Введите текст
а)
Круг — это множество точек, расстояние от которых до центра не превышает радиуса.
Формула расстояния:
\[(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 \le R^2.\]
Здесь центр \((2; 0)\), радиус \(R = 3\). Подставим:
\[(x - 2)^2 + y^2 \le 9.\]
б)
Точки вне круга — это те, расстояние которых от центра строго больше радиуса.
Центр круга — \((0; 4)\), радиус \(R = 2\). Значит:
\[(x - 0)^2 + (y - 4)^2 > 4.\]
Упростим:
\[x^2 + (y - 4)^2 > 4.\]
Пояснения:
1. Для всех задач этого типа используется формула расстояния между точкой \((x,y)\) и фиксированным центром \((x_0, y_0)\):
\[ \rho^2 = (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2. \]
2. Если речь идёт о круге (включая границу), то условие: \(\rho \le R\), что даёт неравенство:
\[(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 \le R^2.\]
3. Если требуется множество точек вне круга, то \(\rho > R\), что даёт:
\[(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 > R^2.\]
Пояснение к пункту а)
Центр круга \((2;0)\), радиус \(3\). Любая точка круга удовлетворяет:
\[(x - 2)^2 + (y - 0)^2 \le 3^2.\]
Это и есть искомое неравенство.
Пояснение к пункту б)
Центр круга \((0;4)\), радиус \(2\). Вне круга — значит расстояние строго больше \(2\):
\[(x - 0)^2 + (y - 4)^2 > 2^2.\]
\[x^2 + (y - 4)^2 > 4.\]
Это и есть описание множества точек вне данного круга.
Вернуться к содержанию учебника