Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№405 учебника 2023-2026 (стр. 123):
Сколько общих точек имеют окружность и прямая:
а) \(\begin{cases} x^2 + y^2 = 9,\\ y = 2x + 3; \end{cases}\)
б) \(\begin{cases} x^2 + y^2 = 7,\\ y - 4x = 2; \end{cases}\)
в) \(\begin{cases} x^2 + y^2 = 5,\\ y + 4x = -5? \end{cases}\)
№405 учебника 2014-2022 (стр. 113):
Напишите уравнение окружности, зная, что её центр находится в точке \(K(2;\,-5)\) и она проходит через точку:
а) \(A(-1;\,-1)\);
б) \(B(-3;\,7)\);
в) \(C(1;\,-4)\).
№405 учебника 2023-2026 (стр. 123):
Вспомните:
№405 учебника 2014-2022 (стр. 113):
Вспомните:
№405 учебника 2023-2026 (стр. 123):
а) \(\begin{cases} x^2 + y^2 = 9,\\ y = 2x + 3; \end{cases}\)
\(\begin{cases} x^2 + (2x + 3)^2 = 9,\\ y = 2x + 3; \end{cases}\)
\(x^2 + (2x + 3)^2 = 9\)
\(x^2 + 4x^2 + 12x + 9 - 9=0\)
\(5x^2 + 12x = 0\)
\(x(5x + 12) = 0\)
\(x = 0\) или \(5x + 12 = 0\)
\(5x = -12\)
\(x = -\dfrac{12}{5}\)
\(x = -2,4\)
Ответ: окружность и прямая имеют 2 общие точки.
б) \(\begin{cases} x^2 + y^2 = 7,\\ y - 4x = 2 \end{cases}\)
\(\begin{cases} x^2 + (4x+2)^2 = 7,\\ y = 4x + 2 \end{cases}\)
\(x^2 + (4x + 2)^2 = 7\)
\(x^2 + 16x^2 + 16x + 4 - 7 = 0\)
\(17x^2 + 16x - 3 = 0\)
\(D = 16^2 - 4\cdot 17 \cdot (-3) =\)
\(=256 + 204 = 460 > 0\) - уравнение имеет 2 корня, значит, система имеет 2 решения и графики пересекаются в двух точках.
Ответ: окружность и прямая имеют 2 общие точки.
в) \(\begin{cases} x^2 + y^2 = 5,\\ y + 4x = -5 \end{cases}\)
\(\begin{cases} x^2 + (-4x-5)^2 = 5,\\ y = -4x -5 \end{cases}\)
\(x^2 + (-4x - 5)^2 = 5\)
\(x^2 + (4x + 5)^2 = 5\)
\(x^2 + 16x^2 + 40x + 25 - 5=0\)
\(17x^2 + 40x + 20 = 0\)
\(D = 40^2 - 4\cdot 17 \cdot 20 =\)
\(=1600 - 1360 = 240 > 0\) - уравнение имеет 2 корня, значит, система имеет 2 решения и графики пересекаются в двух точках.
Ответ: окружность и прямая имеют 2 общие точки.
Пояснения:
Правило (окружность и прямая):
Чтобы узнать число общих точек окружности и прямой, подставляют уравнение прямой в уравнение окружности и получают квадратное уравнение.
Далее смотрят на дискриминант \(D\):
если \(D > 0\), то 2 общие точки;
если \(D = 0\), то 1 общая точка (касание);
если \(D < 0\), то общих точек нет.
Пояснение к а).
После подстановки получилось \(x(5x+12)=0\), то есть два различных значения \(x\). Значит, прямая пересекает окружность в двух точках.
Пояснение к б).
После подстановки получено квадратное уравнение с дискриминантом \(460>0\), значит 2 решения по \(x\) и 2 точки пересечения.
Пояснение к в).
Аналогично, дискриминант \(240>0\), значит прямая пересекает окружность, и общих точек две.
№405 учебника 2014-2022 (стр. 113):
\(K(2, -5)\) - центр окружности.
\( (x - 2)^2 + (y + 5)^2 = r^2,\)
\(r\) - радиус окружности.
а) \(A(-1, -1)\)
\( (-1 - 2)^2 + (-1 + 5)^2 =r^2\)
\((-3)^2 + 4^2 =r^2\)
\(9 + 16 =r^2\)
\(r^2 = 25\)
Уравнение окружности:
\( (x - 2)^2 + (y + 5)^2 = 25. \)
Ответ: \( (x - 2)^2 + (y + 5)^2 = 25. \)
б) \(B(-3, 7)\)
\( (-3 - 2)^2 + (7 + 5)^2 =r^2\)
\((-5)^2 + 12^2 = r^2\)
\(25 + 144 =r^2\)
\(r^2 = 169\)
Уравнение окружности:
\( (x - 2)^2 + (y + 5)^2 = 169. \)
Ответ: \( (x - 2)^2 + (y + 5)^2 = 169. \)
в) \(C(1, -4)\)
\( (1 - 2)^2 + (-4 + 5)^2 =r^2\)
\((-1)^2 + 1^2 = r^2\)
\(1 + 1 =r^2\)
\(r^2 = 2 \)
Уравнение окружности:
\( (x - 2)^2 + (y + 5)^2 = 2. \)
Ответ: \( (x - 2)^2 + (y + 5)^2 = 2. \)
Пояснения:
Уравнение окружности с центром в точке \((a; b)\) имеет следующий вид:
\[ (x - a)^2 + ( y - b)^2 = r^2, \]
где \(r\) - радиус окружности.
Чтобы написать уравнение окружности, проходящей через заданную точку, с заданным центром, нужно определить квадрат ее радиуса. Для этого в общее уравнение окружности подставляем координаты точки, через которую проходит эта окружность, и выполняем вычисления. Затем записываем уравнение окружности, используя найденный квадрат радиуса.
Вернуться к содержанию учебника