Упражнение 403 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник
Старая и новая редакции
Вернуться к содержанию учебника
Вопрос
Выберите год учебника
№403 учебника 2023-2026 (стр. 123):
Сколько общих точек имеют окружность и прямая, заданные соответственно уравнениями:
а) \((x - 6)^2 + (y + 4)^2 = 4\) и \(y = -2\);
б) \((x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 9\) и \(x = 7\)?
№403 учебника 2014-2022 (стр. 112):
(Для работы в парах.) Постройте график уравнения:
а) \((x-5)(y+6)=0;\)
б) \((x-4)(x+2)=0;\)
в) \(x^2 + (y - 1)^2 = 0;\)
г) \((x-5)^2 + (y+2)^2=1.\)
1) Обсудите, какая фигура является графиком уравнения в каждом случае.
2) Распределите, кто выполняет задания а) и в), а кто - задания б) и г), и выполните их.
3) Проверьте друг у друга, правильно ли построены графики уравнений.
Подсказка
№403 учебника 2023-2026 (стр. 123):
Вспомните:
- Что называют решением системы уравнений с двумя переменными.
- Метод подстановки при решении систем уравнений.
- Координаты точки на координатной плоскости.
- Уравнения с двумя переменными, их свойства.
- Степень с натуральным показателем.
№403 учебника 2014-2022 (стр. 112):
Вспомните:
- Линейное уравнение с двумя переменными, его график.
- Координаты точки.
- Параллельные прямые.
- Свойства умножения.
- График линейной функции.
- Уравнение окружности, ее график.
Ответ
№403 учебника 2023-2026 (стр. 123):
а) \((x - 6)^2 + (y + 4)^2 = 4\) и \(y = -2\)
\( \begin{cases} (x - 6)^2 + (y + 4)^2 = 4,\\ y = -2 \end{cases} \)
\( \begin{cases} (x - 6)^2 + (-2 + 4)^2 = 4,\\ y = -2 \end{cases} \)
\((x - 6)^2 + (-2 + 4)^2 = 4\)
\((x - 6)^2 + 2^2 = 4\)
\((x - 6)^2 + 4 - 4 = 0\)
\((x - 6)^2 = 0\)
\(x - 6 = 0\)
\(x = 6\)
\((6;\,-2)\) - точка пересечения окружности и прямой.
Ответ: имеют одну общую точку.
б) \((x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 9\) и \(x = 7\)
\( \begin{cases} (x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 9,\\ x = 7 \end{cases} \)
\( \begin{cases} (7 - 3)^2 + (y - 2)^2 = 9,\\ x = 7 \end{cases} \)
\((7 - 3)^2 + (y - 2)^2 = 9\)
\(4^2 + (y - 2)^2 = 9\)
\(16 + (y - 2)^2 = 9\)
\((y - 2)^2 = 9 - 16\)
\((y - 2)^2 = -7\) - не имеет корней, значит.
Ответ: общих точек не имеют.
Пояснения:
Окружность \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\) имеет центр \((a, b)\) и радиус \(r\).
Чтобы найти общие точки окружности и прямой, подставляют уравнение прямой в уравнение окружности.
Если после подстановки получается:
\(\;\;\)• одно решение — прямая касается окружности (1 общая точка);
\(\;\;\)• два решения — прямая пересекает окружность (2 общие точки);
\(\;\;\)• нет действительных решений — общих точек нет (0 точек).
Пояснение к пункту а).
Подставляем \(y=-2\) в окружность. Получаем \((x-6)^2=0\), то есть единственное значение \(x\). Значит, прямая касается окружности, и общая точка одна: \((6,-2)\).
Пояснение к пункту б).
Подставляем \(x=7\) в окружность. Получаем \((y-2)^2=-7\), а квадрат не может быть отрицательным. Значит, действительных решений нет, и общих точек у прямой и окружности нет.
№403 учебника 2014-2022 (стр. 112):
а) \((x-5)(y+6)=0 \)
\(x-5=0\) или \( y+6=0\)
\(x=5\) \(y=-6\)
б) \((x-4)(x+2)=0 \)
\(x-4=0 \) или \(x+2=0 \)
\(x=4\) \( x=-2\)
в) \(x^2 + (y - 1)^2 = 0\) - точка с координатами \((0;1)\).
г) \((x-5)^2 + (y+2)^2=1\) - окружность с центром в точке \((5; -2)\) и радиусом \(r = 1\).
Пояснения:
В пунктах а) б) использовано свойство нуля произведения: если \((A\cdot B)=0\), то \(A=0\) или \(B=0\). Поэтому уравнение с произведением двух линейных множителей задаёт объединение графиков двух линейных уравнений.
\(x = a\) - прямая, параллельная оси \(y\) и проходящая через точку с координатами \((a; 0)\).
\(y = b\) - прямая, параллельная оси \(x\) и проходящая через точку с координатами \((0; b)\).
Уравнение вида
\( (x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)
задает окружность с центром в точке с координатами \((a; b)\) и радиусом \(r\).
В пункте в), учитывая то, что справа стоит 0, уравнение задает точку.
В пункте г) уравнение задает окружность с центром в точке \((5; -2)\) и радиусом \(r = 1\).
Вернуться к содержанию учебника