Упражнение 401 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( \begin{cases} (x - 4)^2 + (y - 5)^2 = 9,\\ y = x \end{cases} \)

1) \((x - 4)^2 + (y - 5)^2 = 9\) - окружность с центром \((4; 5)\) и \(r = 3\).

2) \(y = x\) - прямая.

Ответ: \((2,4; 2,4)\), \((6,6; 6,6)\).

б) \( \begin{cases} y - x^2 = 0,\\ x + y = 6 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = x^2,\\ y = -x + 6 \end{cases} \)

1) \(y = x^2\) - парабола, ветви вверх.

2) \(y = -x + 6\) - прямая.

Ответ: \((-3, 9)\), \((2, 4)\).

Пояснения:

Решения системы уравнений — это точки пересечения графиков соответствующих уравнений.

Уравнение окружности вида

\((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\)

задаёт окружность с центром \((a, b)\) и радиусом \(r\).

Уравнение \(y = x\) задаёт прямую, проходящую через начало координат.

Уравнение \(y = x^2\) задаёт параболу, ветви которой направлены вверх.

а) \((y-3)(x-3)=0.\)

б) \((x+2)(y+2)=0.\)

в) \((y-2)(y+2)=0\) или \(|y| = 2\).

г) \((x+2)(x-4)=0.\)

Пояснения:

Если график состоит из двух прямых \(L_1=0\) и \(L_2=0\), то ему соответствует уравнение \(L_1\cdot L_2=0,\) поскольку произведение обращается в нуль тогда и только тогда, когда нулём является хотя бы один множитель.

а) Горизонтальная прямая \(y=3\) и вертикальная прямая \(x=3\),  которые, выполнив перенос в левую часть, можно записать

\(y-3 = 0\) и \(x -3 = 0\).

Тогда общее уравнение пары прямых:

\((y-3)(x-3)=0.\)

б) Вертикальная прямая \(x=-2\) и горизонтальная прямая \(y=-2\),  которые, выполнив перенос в левую часть, можно записать

\(x+2 = 0\) и \(y +2 = 0\).

Тогда общее уравнение пары прямых:

\((x+2)(y+2)=0.\)

в) Две горизонтальные прямые \(y=2\) и \(y=-2\),  которые, выполнив перенос в левую часть, можно записать

\(y-2 = 0\) и \(y +2 = 0\).

Тогда общее уравнение пары прямых:

\((y-2)(y+2)=0.\)

г) Две вертикальные прямые \(x=-2\) и \(x=4\), которые, выполнив перенос в левую часть, можно записать

\(x+2 = 0\) и \(x -4 = 0\).

Тогда общее уравнение пары прямых:

\((x+2)(x-4)=0.\)