Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№404 учебника 2023-2026 (стр. 123):
Пересекаются ли окружность \(x^2 + y^2 = 9\) и гипербола \(xy = -3\)? Если пересекаются, то сколько общих точек они имеют?
№404 учебника 2014-2022 (стр. 113):
Запишите уравнение окружности с центром в начале координат, зная, что она проходит через точку:
а) \(A(-2;\sqrt{5})\);
б) \(B(3;4)\);
в) \(C(8;0)\).
№404 учебника 2023-2026 (стр. 123):
Вспомните:
№404 учебника 2014-2022 (стр. 113):
Вспомните:
№404 учебника 2023-2026 (стр. 123):
\(x^2 + y^2 = 9\) и \(xy = -3\)
\( \begin{cases} x^2 + y^2 = 9,\\ y = -\frac3x \end{cases} \)
\(x^2 + \left(-\dfrac{3}{x}\right)^2 = 9\)
\(x^2 + \dfrac{9}{x^2} = 9\) \(/\times x^2\)
\(x^4 + 9 = 9x^2\)
\(x^4 - 9x^2 + 9 = 0\)
Пусть \(t = x^2 \ge 0\).
\(t^2 - 9t + 9 = 0\)
\(D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 =\)
\(=81 - 36 = 45 > 0\) - 2 корня.
\(t_1 = \dfrac{9 + \sqrt{45}}{2} > 0\), тогда \(x = \pm\sqrt{t_1}\).
\(t_2 = \dfrac{9 - \sqrt{45}}{2} > 0\), тогда \(x = \pm\sqrt{t_2}\).
Всего получается 4 различных значения \(x\), а значит и 4 точки пересечения.
Ответ: окружность и гипербола пересекаются и имеют 4 общие точки.
Пояснения:
Общие точки графиков находятся из системы их уравнений.
Решаем систему уравнений способом подстановки:
1) Из одного уравнения выражаем одну переменную через другую.
2) Подставляем полученное выражение во второе уравнение, получая уравнение с одной переменной.
3) Решаем полученное квадратное уравнение и находим значения переменной.
4) Подставляем найденные значения обратно в выражение для другой переменной.
Если после подстановки получается уравнение, имеющее несколько действительных решений, то каждому значению одной переменной соответствует своя точка пересечения.
№404 учебника 2014-2022 (стр. 113):
\(O(0; 0)\) - центр окружности,
\(r\) - радиус окружности.
\[ x^2 + y^2 = r^2 \]
а) \(A(-2; \sqrt{5})\)
\( (-2)^2 + (\sqrt{5})^2 =r^2\)
\(4 + 5 = r^2\)
\(r^2 = 9\)
Уравнение окружности:
\( x^2 + y^2 = 9. \)
Ответ: \( x^2 + y^2 = 9. \)
б) \(B(3; 4)\)
\(3^2 + 4^2 =r^2\)
\(9 + 16 =r^2\)
\(r^2 = 25\)
Уравнение окружности:
\( x^2 + y^2 = 25. \)
Ответ: \( x^2 + y^2 = 25. \)
в) \(C(8; 0)\)
\(8^2 + 0^2 =r^2\)
\(r^2 = 64\)
Уравнение окружности:
\( x^2 + y^2 = 64. \)
Ответ: \( x^2 + y^2 = 64. \)
Пояснения:
Уравнение окружности с центром в начале координат имеет следующий вид:
\[ x^2 + y^2 = r^2, \]
где \(r\) - радиус окружности.
Чтобы написать уравнение окружности, проходящей через заданную точку, нужно определить квадрат ее радиуса. Для этого в общее уравнение окружности подставляем координаты точки, через которую проходит эта окружность, и выполняем вычисления. Затем записываем уравнение окружности, используя найденный квадрат радиуса.
Вернуться к содержанию учебника