Упражнение 402 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Графический способ.

\(\begin{cases} x - y = -7, \\ x^2 + y^2 = 36 \end{cases}\)

\(\begin{cases} y = x + 7, \\ x^2 + y^2 = 36 \end{cases}\)

1) \(y = x + 7\) - прямая.

2) \(x^2 + y^2 = 36\) - окружность с центром в точке \((0; 0)\) и \(r = 6\).

Ответ: графики пересекаются в двух точках.

Аналитический способ.

\(\begin{cases} x - y = -7, \\ x^2 + y^2 = 36 \end{cases}\)

\(\begin{cases} y = x + 7, \\ x^2 + (x + 7)^2 = 36 \end{cases}\)

\(x^2 + (x + 7)^2 = 36\)

\(x^2 + x^2 + 14x + 49 - 36 = 0\)

\(2x^2 + 14x + 13 = 0\)

\(D = 14^2 - 4 \cdot 2 \cdot 13 =\)

\(=196 - 104 = 92 > 0\) - уравнение имеет 2 корня, значит, система имеет 2 решения и графики пересекаются в двух точках.

Ответ: графики пересекаются в двух точках.

Пояснения:

Графический способ:

Уравнение \(x^2 + y^2 = r^2\) задаёт окружность радиуса \(r\) с центром в начале координат.

Уравнение вида \(ax + by + c = 0\) задаёт прямую.

Аналитический способ:

Решения системы уравнений — это точки пересечения графиков соответствующих уравнений.

Из уравнений составляем систему и решаем ее методом подстановки. Получаем два решения, значит, графики пересекаются в двух точках.

а) \(xy=6\)

\(y=\dfrac{6}{x}\) - гипербола.

б) \(y-0{,}5x^2=1\)

\(y=0{,}5x^2+1\) - парабола, ветви вверх.

Вершина: \((0;1)\).

в) \(x^2+y^2=9\) - окружность с центром в точке \((0; 0)\) и радиусом \(r = 3\).

г) \((x+1)^2+(y-1)^2=4\) - окружность с центром в точке \((-1;1)\) и радиусом \(r=2\).

Пояснения:

Чтобы построить график уравнения, нужно привести его к знакомому виду и определить, какая линия ему соответствует.

а) Рассмотрим уравнение

\[ xy=6. \]

Выразим \(y\):

\[ y=\frac{6}{x}. \]

Это формула гиперболы.

Важно помнить, что \(x\ne 0\), так как на ноль делить нельзя.

Если \(x>0\), то и \(y>0\), значит одна ветвь гиперболы лежит в I четверти.

Если \(x<0\), то и \(y<0\), значит другая ветвь лежит в III четверти.

Для построения удобно взять несколько значений \(x\) и вычислить соответствующие значения \(y\).

б) Рассмотрим уравнение

\[ y-0{,}5x^2=1. \]

Выразим \(y\):

\[ y=0{,}5x^2+1. \]

Это парабола, ветви которой направлены вверх, потому что коэффициент при \(x^2\) положительный.

Вершина параболы находится в точке \( (0;1), \) так как при \(x=0\) получаем \( y=1. \)

График симметричен относительно оси \(Oy\), потому что значения \(x\) и \(-x\) дают одинаковые значения функции.

Для построения удобно взять несколько значений \(x\) и вычислить соответствующие значения \(y\).

в) Рассмотрим уравнение

\[ x^2+y^2=9. \]

Это стандартный вид окружности:

\[ x^2+y^2=r^2. \]

Здесь \( r^2=9, \) поэтому \( r=3. \)

Значит, график — окружность с центром в начале координат и радиусом \(3\).

г) Рассмотрим уравнение

\[ (x+1)^2+(y-1)^2=4. \]

Стандартный вид окружности:

\[ (x-a)^2+(y-b)^2=r^2. \]

Значит, центр окружности:

\[ (-1;1). \]

Так как \( r^2=4, \) то \( r=2. \)

Следовательно, это окружность с центром \((-1;1)\) и радиусом \(2\).