Вернуться к содержанию учебника
Сократите дробь:
а) \(\dfrac{2a - 1}{10a^{2} - a - 2}\);
б) \(\dfrac{6a^{2} - 5a + 1}{1 - 4a^{2}}\).
Вспомните:
а) \(\dfrac{2a - 1}{10a^{2} - a - 2}=\)
\(=\dfrac{\cancel{2a - 1}}{\cancel{(2a - 1)}(5a + 2)}=\dfrac{1}{5a + 2}\);
\( 10a^{2} - a - 2 =0\)
\(a=10, b=-1, c=-2\)
\(D=b^{2}-4ac=\)
\(=(-1)^2 - 4\cdot10\cdot(-2)=\)
\(=1+80 = 81\), \(\sqrt D = 9\).
\(a_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)
\(a_{1}=\dfrac{1+9}{2\cdot10}=\frac{10}{20}=0,5\).
\(a_{2}=\dfrac{1-9}{2\cdot10}=-\frac{8}{20}=-0,4\).
\( 10a^{2} - a - 2 =\)
\(=10(a-0,5)(a+0,4)=\)
\(=(2a - 1)(5a + 2)\)
Ответ: \(\dfrac{1}{5a + 2}\).
б) \(\dfrac{6a^{2} - 5a + 1}{1 - 4a^{2}}=\)
\(=\dfrac{\cancel{(2a - 1)}(3a - 1)}{-\cancel{(2a - 1)}(2a + 1)}=\)
\(=-\dfrac{(3a - 1)}{(2a + 1)}=\dfrac{1-3a}{2a + 1}\);
\( 6a^{2} - 5a + 1 =0\)
\(a=6, b=-5, c=1\)
\(D=b^{2}-4ac=\)
\(=(-5)^2 - 4\cdot6\cdot1=\)
\(=25-24 = 1\), \(\sqrt D = 1\).
\(a_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)
\(a_{1}=\dfrac{5+1}{2\cdot6}=\frac{6}{12}=\frac12\).
\(a_{2}=\dfrac{5-1}{2\cdot6}=\frac{4}{12}=\frac13\).
\(6a^{2} - 3a - 2a + 1 =\)
\(=6(a-\tfrac12)(a-\frac13)=\)
\(=2\cdot(a-\tfrac12)\cdot3\cdot(a-\tfrac13)=\)
\( = (2a - 1)(3a - 1) \)
\( 1 - 4a^{2} = (1 - 2a)(1 + 2a) =\)
\(=-(2a - 1)(2a + 1) \)
Ответ: \(\dfrac{1-3a}{2a + 1}\).
Пояснения:
Чтобы сократить дробь, раскладываем ее числитель и знаменатель на множители,если это возможно, и сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя.
Использованные приемы:
1) Если квадратный трехчлен
\(ax^2 + bx+c\) имеет корни, то его можно разложить на множители
\(ax^2 + bx+c=a(x - x_1)(x-x_2)\),
где \(x_1\) и \(x_2\) - корни квадратного трёхчлена.
2) Корни уравнения не изменяются, если обе его части разделить или умножить на одно и то же число.
3) Разность квадратов двух выражений:
\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\).
4) Противоположные выражения:
\(a - b = -(b - a)\).
Вернуться к содержанию учебника