Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№131 учебника 2023-2026 (стр. 49):
Сколько корней имеет квадратный трёхчлен:
а) \(3x^{2} - 8x + 2\);
б) \(-\tfrac12 y^{2} + 6y - 18\);
в) \(m^{2} - 3m + 3\)?
№131 учебника 2014-2022 (стр. 48):
(Задача-исследование.) По графику функции \(y = ax^{2} + bx + c\) (рис. 36) определите знаки коэффициентов \(a\), \(b\) и \(c\).
1) Объясните, как, пользуясь рисунком, можно определить знаки коэффициентов \(a\) и \(c\). Укажите эти знаки.
2) Обсудите, как, пользуясь рисунком, можно определить знак коэффициента \(b\). Укажите этот знак.
№131 учебника 2023-2026 (стр. 49):
№131 учебника 2014-2022 (стр. 48):
№131 учебника 2023-2026 (стр. 49):
а) \(3x^{2} - 8x + 2=0\)
\(a=3,\ b=-8,\ c=2. \)
\( D =b^{2} - 4ac =\)
\(=(-8)^2 - 4\cdot 3 \cdot 2 =\)
\(=64 - 24 = 40>0\) - два корня.
Ответ: 2 корня.
б) \( -\tfrac12 y^{2} + 6y - 18=0\)
\(a=-\tfrac12,\ b=6,\ c=-18. \)
\( D =b^{2} - 4ac =\)
\(= 6^2 - 4\cdot\left(-\tfrac12\right)\cdot(-18) =\)
\(= 36 - 4\cdot\left(\tfrac12\right)\cdot 18 = 36 - 36 = 0 \) - один корень.
Ответ: 1 корень.
в) \( m^{2} - 3m + 3=0\)
\(a=1,\ b=-3,\ c=3. \)
\( D =b^{2} - 4ac =\)
\( = (-3)^2 - 4\cdot 1\cdot 3 = 9 - 12 = -3\) - корней нет.
Ответ: 0 корней.
Пояснения:
Количество корней квадратного трёхчлена определяется знаком дискриминанта:
\[ \begin{cases} D>0 & \Rightarrow \text{два корня},\\[4pt] D=0 & \Rightarrow \text{один корень},\\[4pt] D<0 & \Rightarrow \text{нет действительных корней}. \end{cases} \]
В каждом пункте задача сводится к подстановке коэффициентов в формулу дискриминанта и определению его знака.
№131 учебника 2014-2022 (стр. 48):
а) Парабола ветвями направлена вниз, значит \( a < 0. \)
Значение \(c\) — это ордината точки пересечения графика с осью \(Oy\), значит \( c < 0. \)
Вершина параболы расположена правее оси \(Oy\), поэтому \[m= -\frac{b}{2a} > 0. \] Так как \(a < 0\), то \(2a < 0\), значит \( -b < 0,\quad b > 0. \)
Ответ: \(a < 0,\quad b > 0,\quad c < 0.\)
б) Парабола ветвями направлена вверх, значит \( a > 0. \)
При \(x=0\) график пересекает ось \(Oy\) выше оси \(Ox\), значит \( c > 0. \)
Вершина параболы расположена правее оси \(Oy\), поэтому \[m= -\frac{b}{2a} > 0. \] Так как \(a > 0\), то \(2a> 0\), значит \( -b > 0,\quad b < 0. \)
Ответ: \(a > 0,\quad b < 0,\quad c > 0.\)
Пояснения:
1. Знак коэффициента \(a\) определяется направлением ветвей параболы, если они направлены вверх, то \(a>0\), вниз — \(a<0\).
2. Значение \(c\) - ордината точки пересечения графика с осью \(Oy\), то есть \(y(0)=c\). Если эта точка выше оси \(Ox\), то \(c>0\); если ниже — \(c<0\).
3. Знак коэффициента \(b\) определяем по координате вершины: \[ m= -\frac{b}{2a}. \] Если вершина правее оси \(Oy\), то \(m>0\), если левее — \(m<0\). Отсюда и определяется знак \(b\).
Вернуться к содержанию учебника