Упражнение 128 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\( \begin{cases} y = -x^{2},\\[4pt] y = kx - 4 \end{cases} \)

\[ x^{2} = kx - 4\]

\[ x^{2} - kx + 4 = 0\]

Прямая и парабола имеют одну общую точку, если это уравнение имеет один корень, то есть его дискриминант равен нулю:

\[ D = b^{2} - 4ac = k^{2} - 16. \]

\[ k^{2} - 16 = 0\]

\( k^{2} = 16\)

\(k = \pm 4\).

Ответ: \(k = 4\) или \(k = -4\).

Пояснения:

Прямая касается параболы, когда система имеет одно решение, а это происходит тогда, когда дискриминант квадратного уравнения равен нулю.

Геометрически: для \(k = 4\) и \(k = -4\) прямая касается параболы, то есть имеет ровно одну общую точку (точку касания).

На рисунке видно, что ветви параболы направлена вверх, \(⇒\) у искомой функции \(a>0\), поэтому исключаем функцию \(y = -x^{2} - 6.\)

Вершина параболы расположена в точке \((3; -4,5)\):

\(y = x^{2} + 6x\)

\(m = -\frac{6}{2\cdot 1} = -3\ne3\)

\(y = \frac12 x^{2} - 3x\)

\(m=-\frac{b}{2a}= -\frac{-3}{2\cdot \frac12} = 3\)

\(n= \frac12 \cdot 3^{2} - 3\cdot 3 =\)

\(=\frac92 - 9 = -\frac{9}{2} = -4,5. \)

Ответ: на рисунке изображен график функции \( y = \frac12 x^{2} - 3x. \)

Пояснения:

1. Вершина параболы находится по формуле \[m= -\frac{b}{2a},\qquad n= f(m) \] для функции \(y = ax^{2} + bx + c\).

2. По рисунку можно определить направление ветвей (вверх) и координаты вершины. Только функция \(y=\frac12 x^{2}-3x\) удовлетворяет данным условиям.