Вернуться к содержанию учебника
При каких значениях \(k\) прямая \(y = kx - 4\) имеет с параболой \(y = x^{2}\) только одну общую точку?
\( \begin{cases} y = -x^{2},\\[4pt] y = kx - 4 \end{cases} \)
\[ x^{2} = kx - 4\]
\[ x^{2} - kx + 4 = 0\]
Прямая и парабола имеют одну общую точку, если это уравнение имеет один корень, то есть его дискриминант равен нулю:
\[ D = b^{2} - 4ac = k^{2} - 16. \]
\[ k^{2} - 16 = 0\]
\( k^{2} = 16\)
\(k = \pm 4\).
Ответ: \(k = 4\) или \(k = -4\).
Пояснения:
Прямая касается параболы, когда система имеет одно решение, а это происходит тогда, когда дискриминант квадратного уравнения равен нулю.
Геометрически: для \(k = 4\) и \(k = -4\) прямая касается параболы, то есть имеет ровно одну общую точку (точку касания).
Вернуться к содержанию учебника