Упражнение 133 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 49

\((x+3)^2 - (x-3)^2 =\)

\(=(x-2)^2 + (x+2)^2 \)

\(\small(x^2 + 6x + 9) - (x^2 - 6x + 9) =\)

\(\small=(x^2 - 4x + 4) + (x^2 + 4x + 4)\)

\(\small x^2 + 6x + 9-x^2 + 6x - 9 =\)

\(\small=x^2 - 4x + 4 + x^2 + 4x + 4\)

\(12x = 2x^2 + 8 \)

\( 2x^2 - 12x + 8 = 0 \)    \(\color{red}:2\)

\( x^2 - 6x + 4 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -6\),  \(c = 4\)

\( D =b^2-4ac=\)

\(=(-6)^2 - 4\cdot 1 \cdot 4 =\)

\(=36 - 16 = 20,\)

\(\sqrt{D}=\sqrt{20}=2\sqrt5\)

\(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\( x_1= \frac{6 +2\sqrt{5}}{2} = 3 + \sqrt{5}. \)

\( x_2= \frac{6 -2\sqrt{5}}{2} = 3 -\sqrt{5}. \)

Ответ: \[ x_1 = 3 + \sqrt{5},\quad x_2 = 3 - \sqrt{5}. \]

\( \sqrt{4}<\sqrt{5}< \sqrt{9}\)

\( 2<\sqrt{5}< 3,\Rightarrow 5<3 + \sqrt{5}<6\)

\(0<3 - \sqrt{5}<1\)

Пояснения:

1. Формулы:

Квадрат суммы двух выражений

\( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)

Квадрат разности двух выражений

\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)

2. Уравнение сводится к квадратному, так как все выражения имеют вид \((x+c)^2\), то после раскрытия скобок получается многочлен второй степени.

3. Поиск корней.

После приведения подобные слагаемых получаем квадратное уравнение \[ x^2 - 6x + 4 = 0, \] которое решается через дискриминант.

4. Координатная прямая.

Корни расположены симметрично относительно середины \(x=3\):

\[ 3 - \sqrt{5} \approx 0.764,\qquad 3 + \sqrt{5} \approx 5.236. \]

а) \( (x - 1)^2 + (x + 1)^2 = (x + 2)^2 - 2x + 2 \)

\( (x^2 - 2x + 1) + (x^2 + 2x + 1) =\)

\(=(x^2 + 4x + 4) - 2x + 2 \)

\( 2x^2 + 2 = x^2 + 2x + 6 \)

\( 2x^2 - x^2 - 2x + 2 - 6 = 0 \)

\( x^2 - 2x - 4 = 0 \)

\( D = b^2-4ac=\)

\(=(-2)^2 - 4\cdot 1 \cdot (-4) =\)

\(= 4 + 16 = 20, \) \(\sqrt{D}=2\sqrt5\)

\( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\)

\( x = \frac{2 + 2\sqrt{5}}{2} = 1+ \sqrt{5} \)

\( x = \frac{2 - 2\sqrt{5}}{2} = 1- \sqrt{5} \)

Ответ: \(x = 1 + \sqrt{5}\), \(x = 1 - \sqrt{5}\).

б) \( (2x - 3)(2x + 3) - 1 = 5x + (x - 2)^2 \)

\( 4x^2 - 9 - 1 = 5x + (x^2 - 4x + 4) \)

\(4x^2 - 10 = 5x + x^2 - 4x + 4 \)

\( 4x^2 - 10 - 5x - x^2 + 4x - 4 = 0 \)

\( 3x^2 - x - 14 = 0 \)

\( D = b^2-4ac=\)

\(= (-1)^2 - 4\cdot 3 \cdot (-14) =\)

\(=1 + 168 = 169, \) \(\sqrt{D}=13\)

\( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\)

\( x_1 = \frac{1+ 13}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}=2\frac13\)

\( x_1 = \frac{1- 13}{6} = -\frac{12}{6} =-2\)

Ответ: \(x_1 =2 \frac{1}{3}\), \(x_2 = -2\).

Пояснения:

1. Формулы:

Квадрат суммы двух выражений

\( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)

Квадрат разности двух выражений

\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)

Разность квадратов двух выражений

\(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\)

2. Уравнение сводится к квадратному, корни которого находим по следующей формуле:

\( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\), где \( D = b^2-4ac\)