Упражнение 1146 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 257

\(AB = BC = 5\) см, \(AC = 6\) см,

\(MN = y\) см, \(BH = x\) см.

\(BD\) - высота и медиана,

\(AD = DC = 3\) см.

1) По теореме Пифагора:

\( BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} =\)

\(\sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = 4\) (см)

2) \(\triangle MBN \sim \triangle ABC\) по двум углам

(\(\angle B\) - общий, \(\angle A = \angle {BMN}\)), \(\Rightarrow \)

\(\frac{MN}{AC} = \frac{BH}{BD}\), \(\Rightarrow \)

\( \frac{y}{6} = \frac{x}{4}\)

\(4y = 6x\)

\(y = \frac64x = \frac32x = 1,5x\),

где \(0 < x \le 4\), тогда

\(1,5\cdot 0 < 1,5x \le 1,5 \cdot 4\)

\(0 < 1,5x \le 6\)

\(0 < y \le 6\)

Ответ: \(y = 1,5x\), \(E(y) = (0; 6]\).

Пояснения:

Равнобедренный треугольник - это треугольник, у которого боковые стороны равны. Высота равнобедренного треугольника является и его медианой, поэтому проведя высоту \(BD\) в \(\triangle ABC\) и учитывая то, что \(AD = DC = \frac12AC = 3\) см, по теореме Пифагора получим:

\( BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = 4\) (см)

Треугольники \( MBN\) и \(ABC\) подобны по двум углам (\(\angle B\) - общий, \(\angle A = \angle {BMN}\), как соответственные углы при пересечении параллельных прямых \(AC\) и \(MN\) секущей \(AM\)). В подобных треугольниках сходственные стороны пропорциональны, поэтому \(\frac{MN}{AC} = \frac{BH}{BD}\). Откуда, учитывая то, что \(MN = y\), \(BH = x\), \(AC = 6\), \(BD = 4\), имеем:

\( \frac{y}{6} = \frac{x}{4}\).

Тогда по свойству пропорции:

\(4y = 6x\), откуда \(y =1,5x\).

Подвижный отрезок может пройти расстояние от нуля до 4 см, так как \(BD = 4\) см, значит,

\(0 < x \le 4\), умножив части неравенства на \(1,5\), получим:

\(0 < 1,5x \le 6\), следовательно,

\(0 < y \le 6\), то есть область значений функции \(E(y) = (0; 6]\).

\(y = \dfrac{3x + 1}{x}\)

ОДЗ: \(x \ne0\).

а) \(x=0\) - не пересекает график функции, так как область определения функции все числа, кроме \(x\ne0\).

б) \(y=0\)

\(\dfrac{3x + 1}{x} = 0\)

\(3x + 1 = 0\)

\(3x = -1\)

\(x = -\dfrac{1}{3}\)

График функции пересекает прямую \(y=0\) в точке \(\left(-\dfrac{1}{3},0\right)\).

в) \(x=3\):

\( y = \dfrac{3\cdot3 + 1}{3} = \dfrac{10}{3} = 3\dfrac13\)

График функции пересекает прямую \(x=3\) в точке \((3,\dfrac{10}{3})\).

г) \(y=3\):

\(\dfrac{3x + 1}{x} = 3\)   \(/\times x\)

\( 3x + 1 = 3x\)

\(\cancel{3x} + 1 - \cancel{3x}=0\)

\( 1 = 0\) - неверно.

График функции не пересекает прямую \(y=3\).

Пояснения:

Основные формулы и понятия:

Функция \(y = \dfrac{3x + 1}{x}\) может быть преобразована к виду:

\[ y = 3 + \dfrac{1}{x}. \]

Это гипербола, смещённая вверх на 3 единицы. Область определения — все \(x\), кроме \(x=0\).

а) Согласно области определения функции \(x \ne 0\), поэтому пересечений графика функции с прямой \(x=0\) нет.

б) Решив уравнение при \(y=0\), нашли корень этого уравнения \(x=-\dfrac{1}{3}\), значит, график функции пересекает прямую \(y=0\).

в) Подставляя значение \(x=3\) в формулу функции, получили \( y = 3\dfrac13\), значит, график функции пересекает прямую \(x=3\).

г) Решив уравнение при \(y=3\), получили неверное равенство, то есть уравнение не имеет корней, значит, график функции не пересекает прямую \(y=3\).