Упражнение 1150 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( y = \dfrac{2x + 11}{10} \)

\( \dfrac{2x + 11}{10} = 0 \)

\(2x + 11 = 0 \)

\(2x = -11 \)

\(x = -\dfrac{11}{2} \)

\(x= -5{,}5. \)

Ответ: \(y=0\) при \( x = -5{,}5. \)

б) \( y = \dfrac{6}{8 - 0{,}5x} \)

\(\dfrac{6}{8 - 0{,}5x} = 0 \) - невозможно, так как \(6 \ne 0\).

Ответ: нулей функции не существует.

в) \( y = \dfrac{3x^2 - 12}{4} \)

\( \dfrac{3x^2 - 12}{4} = 0 \)

\(3x^2 - 12 = 0\)

\( 3x^2 = 12\)

\( x^2 = \frac{12}{3}\)

\(x^2 = 4\)

\(x =\pm \sqrt4\)

\(x = \pm2\)

Ответ: \(y = 0\) при \( x = -2\) и \(x = 2. \)

Пояснения:

• Нулём функции называется значение аргумента \((x)\), при котором \(y = 0.\)
• Если функция имеет вид дроби, то нули возможны только в том случае, когда числитель равен нулю, а знаменатель при этом не обращается в ноль.

В пункте а) при приравнивании числителя к нулю, получили линейное уравнение \(2x + 11 = 0 \), которое имеет единственный корень \(x= -5{,}5\) - нуль функции.

В пункте б) числитель всегда отличен от нуля, значит, нулей функции не существует.

В пункте в) при приравнивании числителя к нулю, получили неполное квадратное уравнение \(3x^2 - 12 = 0\), которое имеет два корня: \( x_1 = -2\) и \(x_2 = 2 \) - нули функции.

а) \(xy+3x=0\)

\(x(y+3)=0\)

\(x=0\)  или  \(y + 3 = 0\)

                    \( y=-3\)

б) \((x-y)(y-5)=0\)

\(x-y=0\)  или  \(y-5=0\)

\(y=x\)                 \(y=5\)

в) \((xy-6)(y-3)=0\)

\(xy-6=0\)  или  \(y-3=0\)

\(y=\dfrac{6}{x}\)                  \(y=3\).

\(y=\dfrac{6}{x}\) - гипербола.

г) \((x-y)^2+(x-1)^2=0\)

\(\begin{cases}x-y=0,\\ x-1=0 \end{cases}\)

\(\begin{cases} y=x,\\ x=1 \end{cases}\)

\(\begin{cases} y=1,\\ x=1 \end{cases}\)

График — точка \((1,1)\).

д) \(x^2-4=0\)

\((x-2)(x+2)=0\)

\(x-2=0\)  или  \( x+2=0\)

\(x=2\)                 \( x=-2\)

е) \(y^2-9=0\)

\((y-3)(y+3)=0\)

\(y-3=0\)  или  \(y+3=0\)

\(y=3\)                 \(y=-3\)

Пояснения:

Правило нулевого произведения.

\[AB=0 \;\Longleftrightarrow\; A=0 \text{ или } B=0.\] Если уравнение разложено на множители, график — объединение графиков уравнений каждого множителя \(=0\).

Сумма квадратов.

\[a^2+b^2=0 \;\Longleftrightarrow\; a=0 \text{ и } b=0,\] так как квадраты неотрицательны.

Частные типы графиков.

Линейные уравнения \(x=a\) и \(y=b\) задают, соответственно, вертикальные и горизонтальные прямые.

Из уравнения \(xy=c\,(c\ne0)\) получаем \(y=\dfrac{c}{x}\) (область определения: \(x\ne0\)), график — гипербола с асимптотами \(x=0\) и \(y=0\).

Комментарии к пунктам.

а) Группировка \(xy+3x=x(y+3)\) даёт две пересекающиеся прямые \(x=0\) и \(y=-3\) (пересечение \((0,-3)\)).

б) Произведение двух линейных множителей задаёт пару прямых: биссектриса первой и третьей координатной четвертей \(y=x\) и горизонтальная \(y=5\).

в) Один множитель задаёт гиперболу \(y=\dfrac{6}{x}\), другой — прямую \(y=3\); совместный график — их объединение.

г) Сумма квадратов равна нулю в единственной точке, где обе разности равны нулю: \((1,1)\). Значит, графиком является одна точка \((1,1)\).

д) Разложение разности квадратов даёт две параллельные вертикальные прямые \(x=\pm2\).

е) Разложение разности квадратов дает две параллельные горизонтальные прямые \(y=\pm3\).