Упражнение 819 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть скорость автомобиля, выехавшего из \(A\), равна \(x\) (км/ч),

Тогда скорость автомобиля из \(B\):

\(x + 10\) (км/ч).

А их скорость сближения:

\(x + x + 10 = 2x + 10\) (км/ч).

Составим уравнение:

\(\frac{10x - 100}{x} = \frac{150}{x + 10} + 4\frac12\)

\(\frac{10x - 100}{x} = \frac{150}{x + 10} + \frac92\) \(/\times2x(x + 10)\)

ОДЗ: \(x\neq0\)   и   \(x + 10\neq 0\)

                            \(x\neq-10\)

\(2(x + 10)(10x - 100)=300x +9x(x + 10)\)

\(2(10x^2 - \cancel{100x} + \cancel{100x}- 1000) = 300x + 9x^2 + 90x\)

\(20x^2-2000 - 300 x - 9x^2 - 90x = 0\)

\(11x^2 - 390x - 2000 = 0\)

\(a = 11\),  \(b = -390\),  \(c = -2000\)

\(D=b^2 - 4ac =\)

\(=(-390)^2 - 4\cdot11\cdot (-2000) = \)

\(=152100 + 88 000 = 240100\),

\(\sqrt D = 490\).

\(x_1 = \frac{-(-390) + 490}{2\cdot11} =\frac{880}{22} = 40\).

\(x_2 = \frac{-(-390) - 490}{2\cdot11} =\frac{-100}{22}=\)

\(=-\frac{50}{11}=-4\frac{6}{11}\) - не удовлетворяет условию.

1) \(40\) км/ч - скорость автомобиля из города \(А\).

2) \(40+10 = 50\) (км/ч) - скорость автомобиля из города \(В\).

3) \((40 + 50)\cdot5 = 90\cdot5 = 450\) (км)

Ответ: расстояние между городами равно \(245\) км.

Пояснения:

В задаче использовались формулы:

- Формула пути: \[S = v \cdot t\]

- Формула времени: \[t = \frac{S}{v}\]

При встречном движении расстояние между городами равно сумме путей, а скорость сближения равна сумме скоростей.

Согласно условию составили дробное рациональное уравнение:

\(\frac{10x - 100}{x} = \frac{150}{x + 10} + 4\frac12\).

Алгоритм решения дробного рационального уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

После того как обе части уравнения домножили на общий знаменатель и выполнили преобразования, получили квадратное уравнение, у которого дискриминант \(D = b^2 - 4ac>0\), поэтому уравнение имеет два корня: \(40\) и \(-4\frac{6}{11}\). Отрицательный корень не удовлетворяет условию задачи, так как скорость может быть только положительным числом. Значит, скорость автомобиля, движущегося из пункта \(A\) равна \(40\) км/ч, тогда скорость автомобиля, движущегося из пункта \(B\) равна \(40+10 = 50\) (км/ч). Следовательно, расстояние между городами \(A\) и \(B\) равно:

\((40 + 50)\cdot5 = 90\cdot5 = 450\) (км).

\((1,5; 2,4)\)

\(1,5 = \sqrt{2,25}\)

\(2,4 = \sqrt{5,76}\)

а) \(\sqrt{2} < \sqrt{2,25}\)

\(\sqrt{2}\) - не принадлежит интервалу.

б) \(\sqrt{2,25} < \sqrt{3} < \sqrt{5,76}\)

\(\sqrt{3}\) - принадлежит интервалу.

в) \(\sqrt{2,25} < \sqrt{5} < \sqrt{5,76}\)

\(\sqrt{5}\) - принадлежит интервалу.

г) \(\sqrt{6} > \sqrt{5,76}\)

\(\sqrt{6}\) - не принадлежит интервалу.

Пояснения:

Используем свойства корня:

- \(a = \sqrt{a^2}\).

- если \(a>b\), то \(\sqrt{a} > \sqrt{b}\).