Упражнение 824 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть по плану бригада должна была изготавливать \(x\) пылесосов в день, тогда  плановый срок работы: \(\frac{768}{x}\).

За первые 5 дней бригада изготовила: \(5x\) пылесосов, тогда за оставшиеся дни она изготовила \(844 - 5x\), изготавливая в день по \(x + 6\) пылесосов.

Составим уравнение:

\(\frac{768}{x} = 5 + \frac{844 - 5x}{x + 6} + 1\)

\(\frac{768}{x} = 6 + \frac{844 - 5x}{x + 6}\)  \(/\times x(x+6)\)

ОДЗ: \(x\neq0\)   и   \(x + 6\neq 0\)

                            \(x\neq-6\)

\(768(x + 6) = 6x(x+6) + x(844 - 5x) \)

\(768x + 4608 = 6x^2 + 36x + 844x -5x^2\)

\(768x + 4608 = x^2 + 880x\)

\(x^2 + 880x -768x - 4608 = 0\)

\(x^2 + 112x - 4608=0\)

\(a = 1\),  \(k = \frac b2 = 56\),  \(c = -4608\)

\(D_1 = k^2 - ac =\)

\(=56^2 -1\cdot(-4608)=\)

\(=3136 + 4608 = 7744\),   \(\sqrt D = 88\).

\(x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt D}{a}\)

\(x_1 = \frac{-56 + 88}{1} = 32\)

\(x_2 = \frac{-56 - 88}{1} = -144\) - не удовлетворяет условию.

Ответ: по плану бригада должна была изготавливать \(32\) пылесоса в день.

Пояснения:

Обозначили плановую дневную норму за \(x\). Определили плановый срок как \(\frac{768}{x}\) дней.

Составили дробное рациональное уравнение, учитывая то, что сначала 5 дней бригада работала по плану, затем каждый день изготавливала на 6 пылесосов больше: больше, при этом за день до срока было изготовлено 844 пылесоса:

\(\frac{768}{x} = 5 + \frac{844 - 5x}{x + 6} + 1\).

Алгоритм решения дробного рационального уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

После того как обе части уравнения домножили на общий знаменатель и выполнили преобразования, получили квадратное уравнение с четным коэффициентом \(b\), у которого дискриминант \(D_1 = k^2 - 4ac>0\), где \(k = \frac b2\), поэтому уравнение имеет два корня: \(32\) и \(-144\). Корень, равный \-144\), не удовлетворяет условию задачи, так как количество не может быть отрицательным числом.

Значит, по плану бригада должна была изготавливать \(32\) пылесоса в день.

\(1,98 \in (-\infty; 2)\)

\(1,99 \in (-\infty; 2)\)

\(1,995 \in (-\infty; 2)\)

Наибольшее число, принадлежащее промежутку, найти нельзя.

Наименьшего числа не существует.

Пояснения:

Промежуток \((-\infty; 2)\) включает все числа меньше 2, но не включает само число 2, так как скобка около двойки круглая.

1) Проверим число \(1,98\): оно меньше 2, значит, принадлежит промежутку.

2) Чтобы указать числа больше \(1,98\), но всё ещё меньше 2, можно взять, например, \(1,99\) и \(1,995\). Они оба удовлетворяют условию.

3) Наибольшего числа нет, так как как число 2 не входит в промежуток.

4) Наименьшего числа тоже нет, так как промежуток уходит минус бесконечности.